Traslazione (geometria)

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Traslazione nel piano.

Nella geometria euclidea, una traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione. La si può anche interpretare come addizione di un vettore costante ad ogni punto, o come spostamento dell'origine del sistema di coordinate. In altri termini, se \overrightarrow\mathbf v è un vettore fisso, la traslazione Tv è definita dall'operazione

T_{\mathbf v}\left(\overrightarrow\mathbf p\right)=\overrightarrow\mathbf p+\overrightarrow\mathbf v.

Se T è una traslazione, l'immagine di un sottoinsieme di punti A relativo alla funzione T si chiama «A traslato di T». A traslato di Tv viene indicato spesso con la notazione A+\overrightarrow\mathbf v.

Tutte le traslazioni sono isometrie.

La traslazione può anche essere vista come il risultato di una rotazione eseguita da un centro di rotazione che si trova all'infinito nella direzione ortogonale alla direzione di traslazione.

Traslazione nel piano[modifica | modifica sorgente]

Traslazione di curve in geometria analitica[modifica | modifica sorgente]

La traslazione nel piano è un'operazione utile in geometria analitica per spostare curve come rette e coniche: questo viene fatto modificando le equazioni che le descrivono.

La formula generale per ottenere un'equazione traslata è la seguente: Equazione Traslazione.jpg dove x',y' sono le coordinate da ottenere; x,y sono quelle dell'equazione originale; xv,yv sono le componenti del vettore. Utile per traslare le coniche nel piano cartesiano in due dimensioni.

In parole povere; la traslazione è uno spostamento rigido (cioè, la figura non subisce deformazioni) sul piano, rispetto ad un punto O (origine).

Rappresentazione con matrici[modifica | modifica sorgente]

Dal momento che la traslazione è una trasformazione affine ma non lineare, per rappresentarla con le matrici ci si serve generalmente di coordinate omogenee. La trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate omogenee è definita in questo modo:

\left(x, y, z\right)^{\rm T}\mapsto\left(x, y, z, 1\right)^{\rm T}.

La traslazione di un punto in coordinate omogenee lungo il vettore \vec{\mathbf v}=\left(v_x, v_y, v_z\right)^{\rm T} si effettua allora per mezzo della matrice di traslazione:

T_{\mathbf v} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
.

Moltiplicando la matrice di traslazione per il vettore in coordinate omogenee si ottiene il risultato aspettato:

T_{\mathbf v}\vec{\mathbf p}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1
\end{bmatrix}
=\vec{\mathbf p}+\vec{\mathbf v}.

L'inverso della matrice di traslazione si ottiene invertendo il segno del vettore associato:

T^{-1}_{\mathbf v}=T_{-\mathbf{v}}.

Analogamente, il prodotto di matrici di traslazione si ottiene sommando i vettori associati:

T_{\mathbf u}T_{\mathbf v}=T_{\mathbf u+\mathbf v}.

Poiché l'addizione vettoriale è un'operazione commutativa, lo è anche la moltiplicazione di matrici di traslazione, a differenza della moltiplicazione fra matrici generiche.

Struttura di gruppo[modifica | modifica sorgente]

La composizione di due traslazioni T_1 e T_2 è un'altra traslazione T_3.

Le traslazioni formano un gruppo. In particolare, la composizione di due traslazioni è una traslazione.

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