Omotetia

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In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos = “simile” e tìthemi = “metto”) è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine).

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta usato da Michel Chasles nel 1827.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Esempio grafico: omotetia di centro A e di rapporto \scriptstyle -{1\over 2}.
Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro A è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da A di tutti i punti secondo un fattore c, lasciando invariate le rette passanti per A che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto P dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da A e passante per P, in modo che la sua distanza da A cambi secondo un fattore costante c positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto A.

Il punto A è il centro, mentre c è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari dilatazione, se |c|>1, contrazione se 0<|c|<1. Se c=1 si ottiene ovviamente l'identità ovvero la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso.

L'omotetia è una particolare similitudine.

Coefficiente negativo[modifica | modifica wikitesto]

Si può estendere la definizione al caso in cui c sia negativo: in tale ipotesi il punto B viene spostato nel punto della semiretta opposta alla semiretta AP e avente come distanza da A quella di P moltiplicata per |c|. Notiamo quindi che un'omotetia di fattore -1 è la simmetria centrale di centro il punto A o la rotazione di centro A pari a un angolo piatto.

Mediante i vettori, l'omotetia di centro A e di rapporto c\neq 0 si definisce più correttamente come la trasformazione geometrica che porta ogni punto P nell'unico punto P' soluzione dell'equazione vettoriale:

\overrightarrow{AP'}=c\cdot\overrightarrow{AP}.

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che il corrispondente rapporto sia positivo o negativo. Però è sempre diretto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una omotetia, oltre a moltiplicare tutte le distanze per c, moltiplica tutte le aree per c^2, tutti i volumi per c^3, etc.

Algebra lineare[modifica | modifica wikitesto]

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro A dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore c, ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a c.

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