Omotetia

Una omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine).

Usato per la prima volta da Michel Chasles nel 1827, il termine deriva dal greco come composto da omos che vuol dire “simile” e da tìthemi che significa “metto”.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro A e di rapporto $\scriptstyle -{1\over 2}.$

Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro A è una trasformazione dello spazio euclideo che "dilata" le distanze da A di tutti i punti secondo un fattore c, lasciando invariate le rette passanti per A che per questo si dicono unite. In altre parole, un qualsiasi punto P dello spazio viene spostato sulla semiretta uscente da A e passante per P, in modo che la sua distanza da A cambi secondo un fattore costante c positivo. L'unico punto che corrisponde a se stesso e che per questo si dice unito è il punto A.

Il punto A è il centro, mentre c è il rapporto dell'omotetia. Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari dilatazione, se |c|>1, contrazione se 0<|c|<1. Se "c=1" si ottiene ovviamente l'identità ovvero la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso.

L'omotetia è una particolare similitudine.

Coefficiente negativo

Si può estendere la definizione al caso in cui c sia negativo: in tale ipotesi il punto B viene spostato nel punto della semiretta opposta alla semiretta AP e avente come distanza da A quella di P moltiplicata per |c|. Notiamo quindi che un'omotetia di fattore -1 è la simmetria centrale di centro il punto A o la rotazione di centro A pari a un angolo piatto.

Mediante i vettori, l'omotetia di centro A e di rapporto c≠0 si definisce più correttamente come la trasformazione geometrica che porta ogni punto P nell'unico punto P' soluzione dell'equazione vettoriale:

$\overrightarrow{AP'}=c\cdot\overrightarrow{AP}.$

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che il corrispondente rapporto sia positivo o negativo. Però è sempre diretto.

Proprietà

Una omotetia, oltre a moltiplicare tutte le distanze per $c$, moltiplica tutte le aree per $c^2$, tutti i volumi per $c^3$, etc.

Algebra lineare

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro A dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore c, ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a c.

Altri progetti

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Voci correlate

• Similitudine
• Isometria
• Rotazione
• Traslazione
• Riflessione

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