Traslazione nel piano complesso

In geometria, dati il numero complesso $\, v=p+iq \,$ e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto $\, Q(v)=Q(p,q) \,$, per traslazione di vettore $\vec{v}=(p,q)$ si intende la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso z il numero complesso z' = z + v.

Proprietà

Dalla definizione si deduce che se il punto $\,P(z)\,$, di coordinate $\, (x,y) \,$, rappresenta z, allora la sua immagine sarà il punto P'(z') di coordinate $\,(x',y')\,$, con $\,(x', y')=(x+p, y+q)\,$, che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore $\vec{v}=(p,q)$,

$\tau_{\vec{v}}: \left \{ \begin{matrix} x' = x+p \\ y' = y+q \end{matrix} \right.$ .

Quindi:

sommare a un numero complesso $\,z = x+iy\,$ il numero complesso $\,v = p +iq\,$ equivale ad applicare una traslazione di vettore $\,(p , q)\,$ al punto $\,P\,$ di coordinate $\,(x , y)\,$.

Esempi

Esempio 1

La trasformazione

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3+i\end{matrix}$

è la traslazione $\,\tau_{\vec{v}}\,$ di vettore $\,\vec{v}=(-3,1)\,$.

Esempio 2

Per determinare la scrittura complessa della traslazione τ che porta il punto P(1 + i) in P'( − 2 − i) è sufficiente osservare che P(1 + i) è il punto associato al numero complesso z = 1 + i, e che P'( - 2 - i) è il punto associato al numero complesso z' = − 2 − i. Poiché sommare ad un numero complesso z = x + iy il numero complesso v = p + iq equivale applicare una traslazione di vettore $\vec{v}=(p,q)$ al punto P(z) di coordinate (x,y), si ha che:

$-2-i \,=\, 1+i+p+iq$

da cui si ottiene che $\, p+iq=-3-2i \,$.

Quindi

$\left \{ \begin{matrix} p =-3 \\ q =- 2\end{matrix} \right.$

.

La traslazione richiesta è:

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3-2i\end{matrix}$

.

Casi particolari

Si consideri il caso in cui $\vec{v}=(p,0)$. La traslazione di vettore $\vec{v}=(p,0)$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{(p,0)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso z il numero complesso $\,z' = z+v=(x+p)+iy\,$.

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di z, mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se $\vec{v}=(0,q)$. La traslazione di vettore $\vec{v}=(0,q)$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{(0,q)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso z il numero complesso $\,z' = z+v=x+i(y+q)\,$.

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di z, mentre lascia invariata la parte reale.

Composizione di traslazioni

Date due traslazioni di vettori $\vec{v}=(p,q)$ e $\vec{u}=(r,s)$, la trasformazione composta

$\tau=\tau_{\vec u}\circ\tau_{\vec v}$

è una traslazione di vettore $\vec{w}=\vec{v}+ \vec{u}$.

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: $\tau=\tau_{\vec u}\circ\tau_{\vec v}=\tau_{\vec v}\circ\tau_{\vec u}$, poiché è commutativa la somma di vettori $\vec{w}=\vec{v}+ \vec{u}= \vec{u}+ \vec{v}$.

In particolare una qualsiasi traslazione $\tau_{\vec v}$ di vettore $\vec{v}=(p,q)$ è data dalla composizione delle traslazioni $\,\tau_{(p,0)}\,$ e $\,\tau_{(0,q)}\,$. Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che $\,(p,q)=(p,0)+(0,q)\,$.

Voci correlate

• Traslazione
• Trasformazione geometrica piana

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