Riflessione (geometria)

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Riflessione nel piano lungo una retta verticale.

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia π un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione n passante per l'origine. In altre parole, π è un sottospazio vettoriale di dimensione n − 1.

Una riflessione rispetto a π è la trasformazione lineare data da

\mathrm{Ref}_a(\vec{v}) = \vec{v}- 2\frac{\vec{v}\cdot \vec{a}}{\vec{a}\cdot \vec{a}}\vec{a}

dove a è un qualsiasi vettore ortogonale a π, e v·a è il prodotto scalare fra v ed a.

Sia p un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a p è la trasformazione lineare data da

\mathrm{Ref}_p(\vec{v}) = 2p - \vec{v}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Geometria euclidea piana[modifica | modifica wikitesto]

Simmetria rispetto a un punto, o centrale

Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando r è l'asse del segmento [AA']. Il punto A' è il simmetrico di A rispetto ad r e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A che non appartiene ad r il punto A' suo simmetrico, e ad ogni punto C in r associa il punto C stesso, è detta simmetria assiale di asse r nel piano considerato.

La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione \eta_r per indicare la simmetria assiale di asse r; il simmetrico di A si scrive quindi {\rm A}'=\eta_r({\rm A}).

La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

Definizione di simmetria assiale[modifica | modifica wikitesto]

Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q in modo tale che il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r e abbia come punto medio H, piede della perpendicolare condotta da P a r.

In geometria descrittiva[modifica | modifica wikitesto]

La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.

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Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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