Involuzione (teoria degli insiemi)

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In matematica, un'involuzione è una funzione caratterizzata dalla proprietà di essere l'inversa di se stessa. Se applicata due volte, quindi, il risultato coincide con l'elemento di partenza.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un'involuzione è una funzione

f:X \to X

tale che

f(f(x))=x \quad \forall x \in X

Ogni involuzione è necessariamente una funzione biiettiva.

Il concetto di involuzione è talvolta utilizzato al posto di idempotenza, che riguarda più propriamente funzioni tali che f (f(x)) = f(x).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La funzione identità è un'involuzione banale. Esempi meno banali includono la moltiplicazione per -1 di un numero reale, l'inverso di un numero razionale, l'insieme complemento di un sottoinsieme, il coniugato di un numero complesso e l'operatore di trasposizione.

In algebra lineare, tranne che in caratteristica due, un'applicazione lineare che sia un'involuzione è sempre diagonalizzabile.

In teoria dei gruppi, una permutazione è un'involuzione se è prodotto di trasposizioni indipendenti.

Conteggio delle involuzioni[modifica | modifica sorgente]

Il numero di involuzioni in un insieme con n elementi è dato dalla seguente relazione ricorsiva:

I_0=I_1=1
I_n=I_{n-1}+I_{n-2} (n-1)

I primi termini della sequenza sono 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (sequenza A000085 nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Per calcolare il numero di involuzioni in un insieme con "n" elementi si può ricorrere anche a questa formula, non ricollegata ad altri insiemi.

\forall  n \equiv 0 \mod 2 \Rightarrow I_n= 1+\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}\frac{\prod_{i=0}^{k}{n-2i\choose 2}}{(k+1)!}


\forall  n \equiv 1 \mod 2 \Rightarrow I_n= 1+\sum_{k=0}^{\frac{n-3}{2}}\frac{\prod_{i=0}^{k}{n-2i\choose 2}}{(k+1)!}


Note[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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