Composizione di funzioni

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In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione f tra due insiemi X e Y trasforma ogni elemento di X in uno di Y: in presenza di un'altra funzione g che trasforma ogni elemento di Y in un elemento di un altro insieme Z, si definisce la composizione di f e g come la funzione che trasforma ogni elemento di X in uno di Z usando prima f e poi g. Il simbolo Unicode dell'operatore è (U+2218).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

g\circ f, la composizione di f e g

Formalmente, date due funzioni f\colon X \to Y e g\colon Y \to Z definiamo la funzione composta

g \circ f\colon X \rightarrow Z
(g \circ f)(x) = g(f(x)) \  \forall x \in X

applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo t sia data da una funzione h(t) e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza x sia data da un'altra funzione c(x). Allora (c\circ h)(t) = c(h(t)) descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo t.

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere xfg invece di g(f(x)).

Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di g coincida con il codominio di f. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di f e il dominio di g abbiano un'intersezione non vuota.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se f, g e h sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive f\colon X \to X, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità (f(x) = x per ogni x) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di X. Se l'insieme X contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivazione delle funzioni composte[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Regola della catena.

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

D[f(g(x))]  =  f'(g(x)) \cdot g'(x)

Le notazioni D[f(x)] e f'(x) indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

\mathbf x(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots , x_n(t)) \quad t \in \R

è un vettore di \mathbb R^n le cui componenti sono funzioni derivabili:

\mathbf x'(t) = (x'_1(t), x'_2(t), \dots , x'_n(t))

e se f è una funzione differenziabile in \mathbf x(t), allora la funzione composta:

F(t) = f(\mathbf x(t))

è differenziabile nella variabile t e si ha:

F'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f(\mathbf x(t))}{\partial x_i} x'_i(t) = (\nabla F (\mathbf x ), \mathbf x'(t))

dove \nabla è il gradiente di f e (,) è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se \mathbf f e \mathbf g sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

J[(\mathbf f \circ \mathbf g)(x)]=J[\mathbf f(\mathbf g(x))] \cdot J[\mathbf g(x)]

dove \cdot è la moltiplicazione di matrici e J[\mathbf f(x)] è la matrice jacobiana di \mathbf f.

Composizioni iterate[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione f\colon X \to X (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa n volte, ed il risultato, detto iterata n-esima di f, può essere scritto f^n quando non genera ambiguità. Ad esempio con \sin^2(x) si denota comunemente il quadrato del seno di x, cioè \sin(x)^2=\sin(x)\cdot\sin(x), anziché il valore in x della composizione del seno con se stesso, cioè (\sin\circ\sin)(x)=\sin(\sin(x)).

Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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