Discussione:Composizione di funzioni

Composizione di funzioni
Argomento di scuola secondaria di II grado
Materia	matematica
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Progetto Wikipedia e scuola italiana

Dominio e codominio

Vorrei sapere da 93.38.83.130 (o da chiunque lo sappia) dove sarebbe l'errore di concetto e la ripetizione in questa versione dell'ultima parte della sezione definizione, grazie.

Nella definizione data qui, per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di g coincida con il codominio di f. Tuttavia è possibile, e in alcuni ambiti è preferibile, definire la composizione tra due funzioni ammettendo la condizione più debole che il codominio di f sia contenuto (anche strettamente e non necessariamente uguale) nel dominio di g.

Talvolta, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente, per definire la composizione tra due funzioni, che l'immagine di f e il dominio di g abbiano un'intersezione non vuota. In questo caso la condizione che l'immagine di f sia contenuta nel dominio di g garantisce che la funzione composta $g\circ f$ non cambi al variare del codominio di f (purché il codominio non sia fatto variare a tal punto che venga modificata l'immagine di f).

Ritengo che sia un'informazione da fornire anche perché presente su alcuni libri di testo (almeno la prima parte).--Mat4free (msg) 00:05, 7 ott 2013 (CEST)

Mi permetto di ricordare che un abuso di notazione è una scrittura sbagliata, alla quale due persone si accordano di dare un significato diverso, trovandola più comoda per i propri scopi. Finché le due persone ricordano l'accordo preso, questo abuso può anche diventare un'abitudine, ma non sostituisce in alcun modo la definizione.

Ricordo anche che alcuni libri di testo (Leonardo Sasso, per dirne uno) introducono definizioni errate.

Sarebbe dunque interessante sapere in quale senso in matematica "è possibile definire la composizione ammettendo la condizione più debole".

L'utente che li ha inseriti senza alcun commento potrebbe inoltre indicare quali informazioni (corrette) siano presenti nel secondo paragrafo e non nel primo, o nel primo paragrafo e non nella voce attuale.

--93.38.58.123 (msg) 11:45, 9 ott 2013 (CEST)

Mi permetto di osservare che un abuso di notazione è una scrittura inusuale rispetto agli standard, alla quale due persone si accordano di dare un significato diverso, trovandola più comoda per i propri scopi. Questo non vuol dire che sia sbagliata. Inoltre mi permetto di osservare che un abuso di notazione riguarda (come evoca la stessa locuzione utilizzata) la notazione e NON la definizione di un concetto matematico. E mi permetto anche di sottolineare la differenza che esiste tra concetto e notazione utilizzata per rappresentare tale concetto. Preciserei anche che la notazione è sempre e comunque un accordo, più o meno condiviso, tra persone che comunicano tra loro trattando argomenti comuni, di conseguenza non ha nessun senso parlare di una notazione sbagliata.

Una definizione, invece, è sbagliata se porta a contraddizioni o se non è ben definita (o se ha altri problemi di tipo matematico per nulla legati alla notazione). E visto che sembra interessato a sapere in quale senso in matematica "è possibile definire la composizione ammettendo la condizione più debole", lo illustrerò con un esempio molto semplice.

Siano $A=\{0\}$ e $B=\{0,1\}$ sottoinsiemi dell'insieme dei numeri interi. Siano $f\colon A\to A$ e $g\colon B\to B$ le funzioni indentità su questi insiemi, cioè definite da $f(0)=0$ e da $g(0)=0,g(1)=1$. Poiché insiemisticamente si ha che $A\subsetneq B$, è possibile definire correttamente la funzione composta $h:=g\circ f$ come la funzione $h\colon A\to B$ definita da $h(0)=0$, anche se il codominio di $f$ è diverso dal dominio di $g$.

Concludendo, l'utente ritiene che nel primo paragrafo qui presente sia presente il concetto che sia possibile "definire la composizione tra due funzioni ammettendo la condizione più debole che il codominio di f sia contenuto (anche strettamente e non necessariamente uguale) nel dominio di g", mentre questa possibilità NON è presente nella voce attuale (o almeno non così esplicita, infatti si può ovviamente ottenere questo usando opportunamente le funzioni inclusione, ma ritengo che sia più utile per i lettori meno esperti scrivere le cose in modo più esplicito e meno artificioso). Inoltre nel secondo paragrafo è presente l'informazione (corretta) che l'immagine di una funzione determina (una volta accettato l'abuso di notazione di indicare con lo stesso nome funzioni che hanno domini e codomini diversi, cioè funzioni diverse) la funzione composta risultante. (Riprendendo il precedente esempio, se pongo $f\colon A\to B$ la funzione definita da $f(0)=0$, che quindi differisce dalla precedente $f$ in quanto il codominio è differente, calcolando $h:=g\circ f$, con la nuova $f$, si ottiene la funzione $h\colon A\to B$ definita da $h(0)=0$ che è assolutamente la stessa di prima, senza nessun abuso di notazione, in quanto le funzioni definite su sottoinsiemi dei numeri reali sono definite dai loro valori sugli elementi del dominio)

Mi scuso per non aver commentato e precisato le mie modifiche, la prossima volta cercherò di farlo.--Mat4free (msg) 16:26, 9 ott 2013 (CEST)

Mi duole ricordare che, come indica la parola stessa, un abuso di notazione è un uso improprio, non una "scrittura inusuale". Tanto che chiunque lo dimentichi rischia di cadere in grossolani errori.

Sottolineo infatti che quando il codominio di f è diverso dal dominio di g, è solo con abuso di notazione che si scrive f∘g. L'abuso di notazione, per chiarire, sta nell'indicare con f e g sia le due funzioni di partenza che le due (diverse) funzioni che vengono composte.

Ad esempio, le due funzioni biiettive "identità" $\mathrm {id} _{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ e $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ non possono essere composte tra loro: il codominio dell'una non è uguale al codominio dell'altra. Certo, si può considerare la composizione $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }|_{\mathbb {Q} }\circ \mathrm {id} _{\mathbb {Q} }$ che solo con abuso di notazione alcuni indicherebbero come $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }\circ \mathrm {id} _{\mathbb {Q} }$. Quella che si ottiene non è infatti una funzione biiettiva.

--93.38.74.111 (msg) 19:19, 9 ott 2013 (CEST)

Le faccio presente che da dizionario Hoepli si ha ABUSO:1 Uso cattivo, illecito o eccessivo di qualcosa (Per abuso, abusivamente); 2 ass. Arbitrio, licenza, eccesso. Da cui, se si preferisce il primo significato, è da intendersi un cattivo (o illecito) uso della notazione standard, o, se si preferisce il secondo, è da intendersi una licenza (o arbitrio) nell'uso della notazione standard. Puntualizzo nuovamente, visto che dalla sua replica mi sembra di percepire che forse non mi sono spiegato adeguatamente, che c'è una differenza sostanziale tra notazione e concetto e che la notazione è di per se stessa un accordo tra persone sul significato dato a qualche cosa rispetto alla rappresentazione di un concetto (da dizionario Hoepli NOTAZIONE:3 SCIENT Complesso dei segni e dei simboli adottati convenzionalmente in determinate discipline; e per essere sicuro di chiarire bene la definizione riporto anche da Hoepli CONVENZIONE:1 Patto, accordo tra più persone, organismi o Stati per regolare una determinata attività nel rispetto dei reciproci impegni; 2 Intesa più o meno esplicita e ufficiale sul valore, il significato e l'interpretazione di simboli, maniere, forme e sim.: il valore dei simboli aritmetici è fissato per c., il sistema metrico decimale si fonda su una c. internazionale; 3 spec. al pl. Modo di pensare, di agire secondo un modello comune, passivamente osservato: essere schiavi delle convenzioni) e che, dunque non ha senso di per sé affermare errato (anche se spesso si usa questa terminologia nelle scuole inferiori e superiori per educare gli studenti alla notazione standard).

Ma passando alla discussione sui concetti, è evidente che modificando una definizione (come ad esempio prendendo una condizione più debole per ammettere la possibilità di comporre funzioni) si ottengono proprietà diverse (nel nostro caso, come si nota nel suo esempio, a parte l'irrilevante questione della notazione, non è più vero che la composizione di funzioni biiettive è ancora biiettiva). La questione è: "a cosa mi serve la composizione?" E, a seconda del contesto, potrei trovare più utile una nozione di composizione definita in modo diverso (se vogliamo essere puntigliosi, potremmo dire che probabilmente dovremmo dargli un altro nome e che dunque non staremmo più parlando di composizione ma di qualcos'altro, che in effetti è vero, ma purtroppo si ha questa brutta abitudine dell'abuso di notazione o di "nomenclatura" molto diffusa tra i matematici, che spesso sono più attenti ai concetti che al migliore modo di nominare e indicare tali idee) rinunciando magari a delle proprietà ma ottenendo qualcos'altro che mi è più comodo per i miei scopi.

Quindi riterrei opportuno esporre, con le dovute precisazioni al riguardo per chiarire bene il quadro, che è possibile ammettere una "composizione" definita diversamente. Questo anche perché Wikipedia è per lettori inesperti ma anche esperti e dovrebbe essere il più completa possibile, anche se, ovviamente, non errata. Ma se lei e gli altri utenti troverete inopportuna l'introduzione di questa precisazione, sicuramente accetterò la vostra decisione. --Mat4free (msg) 20:31, 9 ott 2013 (CEST)