Dominio e codominio

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui è definita la funzione, che manda ogni elemento del dominio in un elemento del codominio.

Definizione di funzione[modifica | modifica sorgente]

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio X, un codominio Y e una legge x\mapsto f(x) che associa ad ogni elemento x di X uno e un solo elemento di Y che viene indicato f(x). Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

f\colon\begin{array}[t]{ccc}X&\to&Y\\x&\mapsto&f(x)\end{array}

o nella notazione equivalente

f\colon X\to Y\colon x\mapsto f(x)

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme S è ben definita una funzione identità su S, con dominio S, codominio S e legge di applicazione x\mapsto x:

\text{id}_S\colon S\to S\colon x\mapsto x

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione x\mapsto x non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

Insieme di definizione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi insieme di definizione.

In alcuni ambienti si usa sottointendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, f\colon x\mapsto x^2 potrebbe sottointendere un dominio \mathbb{R} e un codominio \mathbb{R};
f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\colon x\mapsto x^2 ha certamente dominio \mathbb{R}^+ e codominio \mathbb{R}^+;
f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\colon x\mapsto x^2 ha certamente dominio \mathbb{C} e codominio \mathbb{C}.

Dunque nel sottointendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

Insieme immagine[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Immagine (matematica).
Y rappresenta il codominio della funzione f; l'insieme denotato con f(X), che è sempre incluso in Y, è invece l'immagine di f.

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione, e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ovvero se ci si interessa alle sole "immagini" f(x) dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o insieme immagine f(X)=\{f(x)\mid x\in X\} che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una nuova funzione

\tilde{f}\colon X\to f(X)\colon x\mapsto f(x)

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).

Ad esempio, nel calcolo di f(1)=\tilde{f}(1) vengono identificate le due funzioni

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto e^x
\tilde{f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_0^+\colon x\mapsto e^x

anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo (\mathbb{R},+) e il gruppo (\mathbb{R}_0^+,\cdot).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica