Integrale di volume

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante f=1, e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si definisce elemento di volume in \R^k la k-forma:

d \mathbf V = dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k

Sia S una k-superficie positivamente orientata in \R^k e f = 1 la funzione costante definita sull'immagine di S. Allora:

\int_{S} f(\mathbf x ) dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k = \int_{S} f d\mathbf V_k

Sia D \in \mathbb{R}^k il dominio di parametrizzazione di S e S:D \to \mathbb{R}^k iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana J_S positiva. Allora il volume della superficie è dato da:[1]

\int_{S} dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k = \int_{S} J_S(\mathbf u)d \mathbf u = \int_{S(D)} d \mathbf x

Volume in tre dimensioni[modifica | modifica sorgente]

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione D \in \mathbb{R}^3, cioè:

\operatorname{Vol}(D)=\iiint\limits_D dx\,dy\,dz

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione D di una funzione f(x,y,z), ed è generalmente scritto:

\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

\iiint\limits_D f(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz,

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

\iiint\limits_D f(r,\theta,\phi)\,r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta\, d\phi

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Integrando la funzione  f(x,y,z) = 1 su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

 \iiint \limits_{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1} 1 \,dx\, dy \,dz = \iint \limits_{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1} (1 - 0) \,dy \,dz = \int \limits_0^1 (1 - 0) dz = 1 - 0 = 1

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} che descrive la densità del cubo in un punto assegnato  (x,y,z) da  f = x+y+z si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

 \iiint \limits_{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1} \left(x + y + z\right) \, dx \,dy \,dz = \iint \limits_{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1} \left(\frac 12 + y + z\right) \, dy \,dz = \int \limits_0^1 \left(1 + z\right) \, dz = \frac 32

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 286

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica