Studio di funzione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x):\R\to\R al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.

Grafico della funzione y=e^{5x-3x^2}-x^3, realizzato con Derive 5

Operazioni per effettuare lo studio di funzione[modifica | modifica sorgente]

Introduciamo dei concetti base per effettuare lo studio di una funzione:

Insieme di definizione[modifica | modifica sorgente]

Per determinare l'insieme di definizione (dominio) di una funzione assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei numeri reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:

  • le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla (condizioni di esistenza o "c.e.": se f(x) = {g(x) \over h(x)}, allora h(x) \ne 0 );
  • le funzioni sotto radice di indice pari devono essere poste maggiori o tuttalpiù uguali a zero, mentre quelle a indice di radice dispari esistono in tutto R (c.e.: se f(x) = \sqrt[n]{g(x)}, allora g(x) \ge 0 se e solo se n è numero pari);
  • le funzioni logaritmiche accettano solo un argomento strettamente maggiore di zero (c.e.: se f(x) = \log_a (g(x)) , allora g(x) > 0 );
  • le funzioni trigonometriche, eccetto seno e coseno, non esistono in determinati multipli di \pi o \pi/2 (c.e.: se ad esempio f(x) = \tan (g(x)) , allora g(x) \ne k{\pi \over 2} , con k \in \mathbb{Z} \setminus \left \{ 0 \right \} );

Simmetrie e periodicità[modifica | modifica sorgente]

Si procede dunque all'individuazione di eventuali simmetrie rispetto all'asse delle ordinate e all'origine degli assi O  (0,0)

  • se f(x)=f(-x) per ogni x del dominio, allora la funzione è simmetrica rispetto all'asse y (si dice che la funzione è pari): sarà sufficiente studiare la funzione nel semiasse positivo delle ascisse, per poi ribaltare il grafico nel semiasse negativo (facendo corrispondere ad ascisse opposte la stessa ordinata)
  • se f(-x)=-f(x) per ogni x del dominio, allora la funzione è simmetrica rispetto all'origine degli assi O (0,0) (si dice che la funzione è dispari): sarà sufficiente studiare la funzione nel semiasse positivo delle ascisse, per poi ruotare il grafico di un angolo piatto nel semiasse negativo (facendo corrispondere ad ascisse opposte, ordinate opposte)

Inoltre, è possibile che una funzione sia periodica di un certo periodo T se si verifica che f(x)=f(x+T) per ogni x del dominio: sarà sufficiente studiare la funzione nell'intervallo chiuso [0,T], per poi copiare il grafico in tutti gli (infiniti) intervalli [ kT,kT+T ] con  k \in \mathbb{Z}.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzioni pari e dispari e Funzione periodica.

Intersezioni con gli assi[modifica | modifica sorgente]

Può essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che appartengono al grafico della funzione, in particolare si è soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.

Per determinarle si opererà come segue:

  • intersezioni con l'asse x: sono gli zeri della funzione, ovvero i punti di coordinate (x,0) dove x è soluzione dell'equazione f(x) = 0. Risolvendo l'equazione, si possono presentare diversi casi:
    • l'equazione non ha soluzioni: il grafico della funzione non interseca l'asse x;
    • l'equazione presenta una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni: il grafico ha un numero finito di punti di intersezione con l'asse x;
    • l'equazione ha infinite soluzioni: il grafico della funzione ha infiniti punti di intersezione con l'asse x.
  • intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo 0 (zero) appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate (0,f(0)).

Segno della funzione[modifica | modifica sorgente]

Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cioè ci si chiede quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (al di sotto dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione f(x) > 0 e quali invece siano tali che sia soddisfatta la f(x) < 0.

Può essere molto utile a questo punto annerire su un piano cartesiano tutte le zone in cui il grafico della funzione non può passare, se ad esempio nell'intervallo (a,b) la funzione risultasse positiva si annerirà la zona del piano sotto l'asse x, dove x è compresa fra a e b.

Condizione agli estremi (Calcolo dei limiti)[modifica | modifica sorgente]

Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a

  • -\infty se il dominio è illimitato inferiormente
  • +\infty se il dominio è illimitato superiormente
  • c\in \R se c è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno. In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

Continuità / Discontinuità della funzione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione continua e Punto di discontinuità.

Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o di valutarne le discontinuità.

Individuazione degli asintoti[modifica | modifica sorgente]

Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui:

Da notare che potranno esserci:

  • da zero a infiniti asintoti verticali,
  • da zero a due asintoti orizzontali,
  • da zero a due asintoti obliqui.

Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:

  • le funzioni seno e coseno non presentano alcun asintoto,
  • un asintoto verticale esiste solo se ci sono dei candidati asintoti nel campo d'esistenza, ovvero se la funzione è definita su tutto il campo dei reali, non esiste alcun asintoto verticale.

Inoltre, in riferimento al calcolo dell'eventuale asintoto obliquo, è opportuno sottolineare che:

  • quando \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}= 0

l'asintoto obliquo non esiste e la funzione presenta una crescita sottolineare per x che tende ad infinito (es. f(x)= log{x});

  • quando \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}= \infty

l'asintoto obliquo non esiste e la funzione presenta una crescita sovralineare per x che tende ad infinito (es. f(x)= e^{x}).

Il concetto di asintoto però, non si ferma solo ad una retta: infatti, per esempio, per funzioni razionali fratte col grado del numeratore maggiore di due unità rispetto a quello del denominatore, è lecito attendersi l'esistenza di asintoti quadratici, o in caso sia maggiore di tre unità, cubici, e così via. Il modo di calcolare tali asintoti, è identico a quello precedente, ossia si ricavano i coefficienti delle x, ed il termine noto con gli opportuni limiti.

Monotonìa (Derivata prima)[modifica | modifica sorgente]

A questo punto si effettua il calcolo della derivata della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l'esistenza di eventuali punti estremanti, ed altri punti particolari. Tramite lo studio del segno della derivata si è in grado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo. Basti pensare che, essendo la derivata prima il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, esso sarà maggiore di zero, quando la funzione cresce, e minore di zero quando questa decresce (immaginarsi la retta tangente nei vari punti della funzione).

Andamento[modifica | modifica sorgente]

Per individuare gli intervalli in cui la funzione è crescente (e decrescente), si studia il segno della funzione derivata in modo da individuare per quali valori di x essa è positiva, negativa o nulla.

  • dove f è derivabile e f '(x) > 0,  f è strettamente crescente,
  • dove f è derivabile e f '(x) < 0,  f è strettamente decrescente,
  • dove f è derivabile e f '(x) = 0,  f ha in x un punto stazionario (dove f ha la tangente parallela all'asse x).

Punti estremanti[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Punto estremante.

Per verificare che un punto x_0 del dominio sia estremante, deve succedere che la funzione derivata cambi segno da un intorno sinistro a un intorno destro di x_0. In particolare, considerato un reale d arbitrariamente piccolo:

  • se  f'(x) \left\{\begin{matrix}
<0, & \mbox{per }x\in (x_0 - d,x_0) \\
>0, & \mbox{per }x\in (x_0, x_0 + d)
\end{matrix}\right.

allora in  x_0 la funzione presenta punto di minimo. Per indicare un minimo si usa la notazione  m (x_0 , f(x_0) ) . Un minimo si dice assoluto se è il più piccolo valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato  f(x) \geq f(x_m) per ogni  x del dominio -, altrimenti si dice relativo.

  • se  f'(x) \left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{per }x\in (x_0 - d,x_0) \\
<0, & \mbox{per }x\in (x_0, x_0 + d)
\end{matrix}\right.

allora in  x_0 la funzione presenta punto di massimo Per indicare un massimo si usa la notazione  M (x_0 , f(x_0) ) \! . Un massimo si dice assoluto se è il più grande valore che può assumere la funzione - cioè se è verificato  f(x) \leq f(x_M) per ogni  x del dominio -, altrimenti si dice relativo.

I punti estremanti sono da cercare tra diversi insiemi di punti di una funzione: i punti stazionari, gli estremi del dominio, i punti di discontinuità ed i punti di non derivabilità. Una volta rilevati tutti questi potenziali punti estremanti, per ognuno di essi si verifica se il segno della derivata prima cambi dall'intorno sinistro a quello destro. In caso affermativo, il punto è estremante.

Punti angolosi, cuspidi e flessi[modifica | modifica sorgente]

Lo studio della derivata prima permette di verificare la presenza di altri punti particolari: i punti angolosi, le cuspidi ed i flessi (orizzontali e verticali)

  • se la derivata sinistra e la derivata destra di  f in un punto  x_0 del dominio esistono ma sono diverse, allora la funzione presenta in  x_0 un punto angoloso.
  • un caso particolare di punto angoloso è la cuspide: se la derivata sinistra e la derivata destra di  f in un punto  x_0 del dominio sono infinite ma di segno opposto, allora la funzione presenta in  x_0 una cuspide. In particolare, la funzione ha in  x_0 una:
    • cuspide rivolta verso il basso se  f'_-(x_0) = -\infty \wedge f'_+(x_0) = +\infty
    • cuspide rivolta verso l'alto se  f'_-(x_0) = +\infty \wedge f'_+(x_0) = -\infty
  • se in un intorno completo di un punto stazionario  x_0 la funzione ha segno costante, allora la funzione presenta in  x_0 un punto di flesso orizzontale. In particolare, la funzione ha in  x_0 un:
    • flesso ascendente orizzontale se  f'(x)>0 : x \in (x_0 - d, x_0 + d)-{x_0}
    • flesso discendente orizzontale se  f'(x)<0 : x \in (x_0 - d, x_0 + d)-{x_0}
  • se in un punto  x_0 del dominio la funzione derivata non è definita ma la derivata sinistra e la derivata destra sono infinite dello stesso segno, allora la funzione presenta in  x_0 un punto di flesso verticale. In particolare, la funzione ha in  x_0 un:
    • flesso ascendente verticale se  f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = +\infty
    • flesso discendente verticale se  f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = -\infty

Concavità (Derivata seconda)[modifica | modifica sorgente]

Successivamente si effettua lo studio della derivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la derivata seconda si annulla) e valutare, quindi, grazie alla possibilità che essa ci dà di studiare la concavità, se i punti stazionari trovati con la derivata prima sono massimi, minimi di funzione o punti di flesso a tangente orizzontale.

Relazione con derivata prima[modifica | modifica sorgente]

Se f'(x) è derivabile in  x :

  • se f''(x)>0 allora f presenta una concavità verso l'alto in x,
  • se f''(x)<0 allora f presenta una concavità verso il basso in x,
  • se f''(x)=0 allora x è possibile sia un punto di flesso. In questo caso occorre valutare le derivate successive oppure il segno della derivata seconda nell'intorno del punto.

Derivata terza[modifica | modifica sorgente]

Nel caso in cui f''(x)=0 si procede con lo studio della derivata terza per sapere se la funzione presenta un flesso ascendente o discendente.

  • se f'''(x)>0 allora il flesso è ascendente,
  • se f'''(x)<0 allora il flesso è discendente,
  • se f'''(x)=0 allora si studia il segno delle derivate di grado via via maggiore sfruttando la seguente regola:
    • se la prima derivata che non si annulla è di ordine pari:
      f^{ \mathrm{pari} }(x) \ne 0 non è un punto di flesso;
    • se la prima derivata che non si annulla è di ordine dispari:
      f^{ \mathrm{dispari} }(x)>0 flesso ascendente,
      f^{ \mathrm{dispari} }(x)<0 flesso discendente.

Complementi[modifica | modifica sorgente]

Le caratteristiche della funzione fin qui studiate sono ampiamente sufficienti per tracciare un grafico verosimile, tuttavia è possibile studiare altri dettagli della funzione per ottenere un più alto grado di accuratezza.

Simmetrie[modifica | modifica sorgente]

Se una funzione non presenta simmetrie rispetto all'asse  y e all'origine degli assi  O (0,0) , non è detto che non possa esser simmetrica rispetto a qualche altra retta o punto particolare. Per 'indovinare' la retta od il punto rispetto al quale è simmetrica la funzione, occorre riconsiderare tutti gli elementi fin qui trovati (punti d'intersezione, segno, limiti, crescenza, punti estremanti, concavità, punti di flesso, etc..): se essi sono tutti simmetrici rispetto ad una qualche retta o punto particolare, allora è probabile che la funzione presenti una simmetria. Pertanto:

  • se si rileva che la funzione possa esser simmetrica rispetto a una retta  x = h , allora si procede alla verifica che  f(h-x)=f(h+x) per ogni  x del dominio. In caso affermativo, la funzione ha come asse di simmetria la retta  x=h . Sarà dunque sufficiente disegnare il grafico a destra della retta e ribaltarlo alla sua sinistra (facendo corrispondere ad ascisse equidistanti da  x=h ordinate uguali).
  • se si rileva che la funzione possa esser simmetrica rispetto a un punto generico  P(x_p,y_p) , allora si procede alla verifica che  f(x_p+x)-y_p=y_p-f(x_p-x) per ogni  x del dominio. In caso affermativo, la funzione ha come centro di simmetria il punto  P(x_p,y_p) . Sarà dunque sufficiente disegnare il grafico nel semipiano a destra del punto e ruotarlo di un angolo piatto nel semipiano a sinistra (facendo corrispondere ad ascisse equidistanti da  x=x_p ordinate equidistanti da  y=y_p )
    • nel caso particolare in cui  P abbia ordinata nulla (ovvero sia un punto che si trova sull'asse  x ), è sufficiente che  f(x_p+x)=-f(x_p-x) per ogni  x del dominio affinché  P(x_p,0) sia centro di simmetria per la funzione.
    • nel caso particolare in cui  P abbia ascissa nulla (ovvero sia un punto che si trova sull'asse  y ), è sufficiente che  f(x)-y_p=y_p-f(-x) per ogni  x del dominio affinché  P(0,y_p) sia centro di simmetria per la funzione.

Punti significativi[modifica | modifica sorgente]

Un altro accorgimento può essere quello di individuare le coordinate di alcuni punti della funzione: presa un'ascissa  x_0 , la si sostituisce nella variabile indipendente della funzione e si ottiene l'ordinata  y_0 corrispondente.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Effettuiamo ora lo studio della funzione y=3x^3-8x^2+5x+1:

Determinazione dell'insieme di definizione[modifica | modifica sorgente]

La funzione esiste in tutto \R.

Simmetrie e periodicità[modifica | modifica sorgente]

La funzione non presenta particolari simmetrie.

Intersezioni con gli assi[modifica | modifica sorgente]

La funzione interseca l'asse y nel punto di coordinate (0;f(0)) ovvero (0;1). Essa inoltre interseca l'asse delle x nel punto (-0.16;0) (il secondo risultato è ottenuto tramite approssimazione).

Segno della funzione[modifica | modifica sorgente]

Per sapere il segno della funzione, in questo caso, avendo solo uno zero, basta sostituire un'ascissa maggiore ed un'ascissa minore dello zero per accorgersi che a sinistra di esso la funzione è negativa, a destra positiva.

Calcolo dei limiti[modifica | modifica sorgente]

La funzione non ha punti in cui non è definita quindi ci basta calcolare il limite per x \rightarrow \pm \infty:

  • \lim_{x\rightarrow +\infty}3x^3-8x^2+5x+1=+\infty
  • \lim_{x\rightarrow -\infty}3x^3-8x^2+5x+1=-\infty

Continuità/Discontinuità della funzione[modifica | modifica sorgente]

La funzione è continua in tutto \R come si vede anche dal dominio.

Individuazione degli asintoti[modifica | modifica sorgente]

Poiché la funzione ha due limiti con tendenza all'infinito positiva e negativa uguali ad infinito di segno opposto, possiamo dire che essa può essere caratterizzata da due asintoti obliqui, applichiamo quindi le altre due condizioni per ottenere le equazioni di essi

  • \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x^3-8x^2+5x+1}{x}=+\infty

Ci possiamo anche fermare qui dicendo che la funzione non presenta asintoti.

Derivata prima[modifica | modifica sorgente]

  • f'(x)=9x^2-16x+5

Studiamo ora il segno della funzione derivata prima:

  • 9x^2-16x+5>0

Ne consegue che:

  • f'(x)>0\ \forall x\in \left( -\infty;\frac{8-\sqrt19}{9}\right) \cup \left(\frac{8+\sqrt19}{9};+\infty\right)

La funzione presenta quindi due punti stazionari in x_1=\frac{8-\sqrt19}{9} e x_2=\frac{8+\sqrt19}{9}.

Possiamo dire, inoltre, che la funzione è crescente da -\infty a \frac{8-\sqrt19}{9}, decrescente da \frac{8-\sqrt19}{9} a \frac{8+\sqrt19}{9} e nuovamente crescente da \frac{8+\sqrt19}{9} a +\infty, ragion per cui è possibile affermare che:

Derivata seconda[modifica | modifica sorgente]

Studiamo ora il segno della derivata seconda:

  • f''(x)=18x-16
  • 18x-16>0
  • x>\frac{8}{9}

Quindi nel punto stazionario x_1=\frac{8-\sqrt19}{9}<\frac{16}{18} la concavità è verso il basso, ci troviamo allora in un punto di massimo relativo.

Invece nel punto stazionario x_2=\frac{8+\sqrt19}{9}>\frac{16}{18} la concavità è verso l'alto, ci troviamo in un punto di minimo relativo.

La funzione derivata seconda si annulla in x=\frac{8}{9}, qui abbiamo allora un punto di flesso obliquo (perché non corrisponde con un punto stazionario).

Derivata terza[modifica | modifica sorgente]

Calcoliamo la derivata terza per sapere se la curva passa sopra o sotto la derivata nel punto di flesso:

  • f'''(x)=18

Quindi f'''(x)>0 il flesso è ascendente.

Grafico[modifica | modifica sorgente]

Si può quindi disegnare un grafico in questo modo:

Grafico funzione esempio y=3x^3-8x^2+5x+1
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica