Disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare è una proprietà matematica. Essa è una delle proprietà caratterizzanti una distanza in uno spazio metrico. Formalmente tale proprietà afferma che, dato lo spazio metrico (X,d), allora

$\forall x,y,z \in X: d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

È facilmente visualizzabile considerando x, y e z come vertici di un triangolo e come d(x, y) la lunghezza del lato xy: in tal modo si traduce nel constatare che la lunghezza di un lato è minore o uguale alla somma degli altri due.

Se considerata in un qualsiasi spazio normato V con la metrica indotta e scegliendo come z lo 0 di V, essa dunque ci porta a dire che:

$\|x+y\|= d(x,-y)\leq d(x,0) + d(-y,0)= \|x-0\| + \|-y-0\|= \|x\| + \|-y\|= \|x\| + \|y\|$

Cioè:

$\forall x,y \in V: \|x+y\|\leq \|x\| + \|y\|$

Dunque, all'interno dei numeri reali con la norma euclidea, assume la nota forma:

$\forall x,y \in \R: |x+y| \leq |x| + |y|$.

Per una ulteriore dimostrazione di quest'ultima disuguaglianza è sufficiente scrivere le relazioni:

$-|x| \leq x \leq |x|$ e $-|y| \leq y \leq |y|$

Quindi sommare membro a membro ottenendo

$-(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x| + |y|$

da cui si ricava la tesi.

Voci correlate

• Subadditività

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