Teorema dei valori intermedi

La funzione disegnata assume il valore $u$ in corrispondenza del punto $c$

In analisi matematica il teorema dei valori intermedi (o teorema di tutti i valori) si applica alle funzioni continue reali e assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Il teorema

Una funzione $\ f(x) \;$ continua nell'intervallo $[a,b]$ assume in tale intervallo tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.

Questo teorema è fondamentale per la dimostrazione di quello della media integrale.

Dimostrazione

Non essendoci nulla da dimostrare nel caso in cui $inf(f) = sup(f)$, in quanto la funzione risulta essere una costante, supponiamo il caso in cui $f(a) < f(b)$ e consideriamo un valore $l$ tale che $f(a) < l < f(b)$.

Bisogna dimostrare che $\exists x_0 \in [a,b] :f(x_0)= l$.

Introdotta la funzione $g(x)= l - f(x)$ continua in $[a,b]$, risulta che $g(a) = l - f(a) > 0$ e $g(b) = l - f(b) < 0$. Allora alla funzione $g(x)$ possiamo applicare il teorema degli zeri, per cui $\exists x_0 \in (a,b) : g(x_0) = l - f(x_0) = 0$, ossia tale che $f(x_0) = l$.

Corollario

Sia $f$ continua sull'intervallo $I$. Allora l'insieme immagine $f(I)$ è un intervallo.

Dimostrazione

Poniamo $\alpha = \inf_{x\in I} f(x)$ e $\beta= \sup_{x\in I} f(x)$ ($\alpha$ e/o $\beta$ possono essere eventualmente infiniti). Sia c un numero reale tale che $\alpha < c < \beta$. Per definizione di estremo inferiore, esiste un $x_1\in I$ tale che $\alpha < f(x_1) < c$.

In modo analogo si prova l'esistenza di un $x_2\in I$ tale che $c < f(x_2) < \beta$. Per il teorema dei valori intermedi, applicato all'intervallo di estremi $x_1$ e $x_2$, esiste allora un punto $x_0$ in tale intervallo (e dunque in $I$) tale che $f(x_0) = c$. Ne concludiamo che $]\alpha, \beta[ \subseteq f(I)$. Ma oltre ad $]\alpha, \beta[$, $f(I)$ può contenere solo gli estremi $\alpha$ e $\beta$, se questi sono finiti. In ogni caso $f(I)$ è un intervallo.

Voci correlate

• Teorema di Bolzano
• Funzione continua
• Teorema di Darboux
• Funzione base-13 di Conway

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