Teorema dei valori intermedi

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In [a,b], la funzione assume qualsiasi valore scelto tra f(A) e f(B)

In analisi matematica il teorema dei valori intermedi (o teorema di tutti i valori) si applica alle funzioni continue reali e assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione continua. Sia f(a)<f(b) (o viceversa f(b)<f(a)). Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b), ovvero, per ogni y_0 tale che f(a)<y_0<f(b) (o rispettivamente f(b)<y_0<f(a)), esiste un punto  x_0 in [a,b] tale che f(x_0)=y_0.[1]

Questo teorema è fondamentale per la dimostrazione di quello della media integrale.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che f(a) < f(b) e consideriamo un valore y_0 tale che  f(a) < y_0 < f(b) .

Introduciamo la funzione g(x)= y_0 - f(x), continua in [a,b]. Risulta che g(a) = y_0 - f(a) > 0 e g(b) = y_0 - f(b) < 0.

Allora possiamo applicare il teorema degli zeri alla funzione g(x), per il quale esiste  x_0 \in (a,b) tale che g(x_0) = y_0 - f(x_0) = 0, ossia tale che f(x_0) = y_0.

Del tutto analogo è il caso in cui  f(a) > f(b).

Corollario[modifica | modifica sorgente]

Sia f continua sull'intervallo I . Allora l'insieme immagine f(I) è un intervallo.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Poniamo  \alpha = \inf_{x\in I} f(x) e \beta= \sup_{x\in I} f(x) (\alpha e/o \beta possono essere eventualmente infiniti). Sia c un numero reale tale che  \alpha < c < \beta. Per definizione di estremo inferiore, esiste un  x_1\in I tale che  \alpha < f(x_1) < c .

In modo analogo si prova l'esistenza di un  x_2\in I tale che  c < f(x_2) < \beta. Per il teorema dei valori intermedi, applicato all'intervallo di estremi  x_1 e  x_2 , esiste allora un punto  x_0 in tale intervallo (e dunque in  I ) tale che  f(x_0) = c . Ne concludiamo che  ]\alpha, \beta[ \subseteq f(I) . Ma oltre ad  ]\alpha, \beta[,  f(I) può contenere solo gli estremi \alpha e \beta , se questi sono finiti. In ogni caso f(I) è un intervallo.

Osservazione[modifica | modifica sorgente]

Il teorema non può essere invertito. Esistono, infatti, funzioni che rispettano la proprietà dei valori intermedi ma non sono continue. Un esempio molto semplice è fornito dalla funzione definita come f(x) = \sin{\frac 1 x} per x reale diverso da zero e come f(0)=0 nell'origine. Tale funzione soddisfa la tesi del teorema ma è discontinua nell'origine.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ P. M. Soardi, op. cit., p. 184

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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