Integrale di Riemann

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Rappresentazione grafica del calcolo dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo ad essere stata formulata.

Costruzione dell'integrale[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la partizione P di un intervallo chiuso [a,b] in n sottointervalli [x_{k-1},x_k] di uguale ampiezza, e si consideri una funzione limitata f(x) definita su [a,b].

Per ogni intervallo della partizione si possono definire due punti:

m_k = \inf_{x \in [x_{k-1},x_k]} f(x) \qquad M_k = \sup_{x \in [x_{k-1},x_k]} f(x)

che corrispondono all'ordinata minore  m_k nell'intervallo e all'ordinata maggiore  M_k dell'intervallo. Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione P il numero:

s(P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})

Ammettendo che f assuma valori positivi nell'intervallo, la somma integrale inferiore è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano. Analogamente, si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione P il numero:

S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})

La somma integrale superiore è quindi la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione. Si ponga:

m \leq f(x) \leq M \quad  \forall x \in [a,b]

si dimostra che per ogni coppia di partizioni P e Q di [a,b] si ha:

m(b-a) \leq s(P) \leq S(Q) \leq M (b-a)

Per ogni possibile partizione P di [a,b] si definiscono:

\delta = s(P) \qquad \Sigma = S(P)

Dal lemma precedente si può dedurre che gli insiemi  \delta e \Sigma sono separati cioè:

s \leq S \qquad \forall s \in \delta \quad \forall S \in \Sigma

L'assioma di completezza di \R afferma che allora esiste almeno un numero reale \xi \in \R tale che:

s \leq \xi \leq S \qquad \forall s \in \delta \quad \forall S \in \Sigma

Se vi è un unico elemento di separazione \xi tra \delta e \Sigma allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann. L'elemento \xi si indica con:

\xi : = \int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x

e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a e b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda. La variabile di integrazione è una variabile "muta" o "apparente": nulla cambia se ne viene cambiato il nome e dx è detto differenziale della variabile di integrazione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'integrale secondo Riemann di f nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è definito come il limite per n che tende ad infinito della somma integrale:

\sigma_{n} =  {{b-a} \over {n}} \sum_{k=1}^{n} f(t_{k})

detta somma integrale di Riemann. Se tale limite esiste, è finito e non dipende dalla scelta dei punti t_k, si ha:

\ \int^{b}_{a} \!f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

L'esistenza di un unico elemento separatore tra \delta e \Sigma nella definizione è equivalente a richiedere che:

s(P) = S(P) = \int_{a}^{b}\!f(x) \,\mathrm{d}x

La funzione limitata f è integrabile in [a,b] se e solo se per ogni \varepsilon > 0 esiste una partizione P di  [a,b] tale per cui:

|S(P) - s(P)| < \varepsilon

Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione, mentre se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Proprietà dell'integrale di Riemann.

Linearità[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano \alpha, \beta \in \R. Allora:

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx

Additività[modifica | modifica sorgente]

Sia f continua e definita in un intervallo [a, b] e sia c \in [a, b]. Allora:

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)\,dx

Monotonia[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e f(x) \geq g(x). Allora:

\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x) dx

Teorema del confronto[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e tali che f(x) \le g(x) in [a, b]. Allora:

\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x)\,dx

Valore assoluto[modifica | modifica sorgente]

Sia f integrabile in un intervallo [a, b], allora si ha:

\left | \int_a^b f(x)\,dx \right | \leq \int_a^b \left | f(x) \right |\,dx

Integrale di Stieltjes[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi integrale di Riemann-Stieltjes e integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

\int_a^b f \,\mathrm{d} g.

Se la funzione g è differenziabile, vale la formula \mathrm{d} g(x) = g^\prime(x) \,\mathrm{d} x, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di f g^\prime, cioè:

\int_a^b f(x) \,\mathrm{d} g(x) = \int_a^b f(x) g^\prime(x)\,\mathrm{d}x.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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