Integrale di Riemann

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Superficie sottesa dalla funzione f(x)

In matematica, l'integrale di Riemann è una costruzione che permette di calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione reale rappresentata nel piano cartesiano.

È stata storicamente la prima definizione rigorosa di integrale di una funzione. Tuttavia al giorno d'oggi non è considerata la migliore, poiché risulta inapplicabile in molti contesti, nei quali invece è valido l'integrale di Lebesgue, che ne può essere considerato l'estensione.

Prende il suo nome da Bernhard Riemann, matematico tedesco del XIX secolo.

Indice

[modifica] Approccio costruttivo

Cominciamo considerando una funzione f(x)\!, definita su un intervallo chiuso I\subset\R,\,I = [a,b]\!, che su tale intervallo risulti limitata.

Ora suddividiamo l'intervallo I\!, tramite una partizione \mathcal{P}\!, in n intervalli [x_{s-1},x_{s}]\!, e per ogni sub-intervallo definiamo queste due quantità:

m_s := \inf_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\!
M_s := \sup_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\!
Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo)

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione f(x)\! limitatamente al sub-intervallo [x_{s-1},x_{s}]\!. Tali valori esistono certamente, poiché la f(x)\! è limitata su tutto l'intervallo I\!, ma non è detto, tuttavia, che siano facilmente calcolabili.

Si definisce somma inferiore di Darboux, relativa alla partizione \mathcal{P}\!, il numero reale:

s(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n m_s (x_s-x_{s-1})\!

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, relativa alla partizione \mathcal{P}\!, il numero reale:

S(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n M_s (x_s-x_{s-1})

Da notare che la funzione di cui abbiamo disegnato il grafico è stata scelta positiva solo per comodità.

Lemma: Integrale di Riemann

Sia m \leq f(x) \leq M,\, \forall x \in [a,b] allora per ogni coppia di partizioni \mathcal{P},\,\mathcal{Q}\! di [a,b]\! si ha:

m(b-a) \leq s(\mathcal{P}) \leq S(\mathcal{Q}) \leq M (b-a)

Siano

\delta = \{s(\mathcal{P})\}_\mathcal{P}\,\forall \mathcal{P} partizione di [a,b]\!
\Delta = \{S(\mathcal{P})\}_\mathcal{P}\,\forall \mathcal{P} partizione di [a,b]\!

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi \delta,\,\Delta\! sono separati cioè:

s \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta\!

L'assioma di Dedekind sulla completezza di \R\! afferma allora che esiste almeno un numero reale \xi \in \R\! tale che:

s \leq \xi \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta\!

Se vi è un unico elemento di separazione \xi\! tra s,\,S allora si dice che f(x)\! è integrabile in [a,b]\! secondo Riemann e l'elemento \xi\! si indica con:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx

e si chiama integrale definito di f\! in [a,b]\!. I numeri a,\,b\! sono detti "estremi di integrazione" ed f\! è detta "funzione integranda".

La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè \int f(x)dx\! ha lo stesso significato \int f(t)dt\!, \int f(j)dj.

Il dx\! è detto "differenziale della variabile di integrazione".

[modifica] Definizione

Definizione: Integrale secondo Riemann

L'integrale di f\! nell'intervallo chiuso e limitato [a,b]\! è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale

\sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti \ t_s nel s-esimo subintervallo di [a,b]\!:

\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

L'esistenza di un unico elemento separatore tra \delta,\,\Delta nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

s(f) = S(f)\!

in questo caso:

s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx\!

Se la funzione integrabile f(x)\! è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

R = \{(x,y)\in\R^2,\,0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]\}\!.

Se la funzione f\! cambia segno su [a,b]\! allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

[modifica] Proprietà degli integrali

[modifica] Linearità

Teorema: Linearità dell'operazione di integrazione

Siano f\! e g\! due funzioni continue definite in un intervallo [a, b]\! e siano \alpha, \beta \in \R\!. Allora:

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx\!
Per approfondire, vedi la voce Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann#Linearità.

[modifica] Additività

Teorema: Additività dell'operazione di integrazione

Sia f\! continua e definita in un intervallo [a, b]\! e sia c \in [a, b]\!. Allora:

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)\,dx\!
Per approfondire, vedi la voce Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann#Additività.

[modifica] Monotonia

Teorema: Monotonia

Siano f\! e g\! due funzioni continue definite in un intervallo [a, b]\! e f(x) \geq g(x)\!. Allora:

\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x) dx \!

[modifica] Teorema del confronto

Teorema: Teorema del confronto

Siano f\! e g\! due funzioni continue definite in un intervallo [a, b]\! e tali che f(x) \le g(x) in [a, b]\!. Allora:

\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x)\,dx\!
Per approfondire, vedi la voce Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann#Teorema del confronto.

[modifica] Valore assoluto

Teorema: Valore assoluto

Sia f\! integrabile in un intervallo [a, b]\!, allora si ha:

\left | \int_a^b f(x)\,dx \right | \leq \int_a^b \left | f(x) \right |\,dx\!
Per approfondire, vedi la voce Dimostrazioni dell'Integrale di Riemann#Valore assoluto.

[modifica] Teorema della media

Teorema: Teorema della media integrale

Se f:[a,b]\to \mathbb R\! è continua allora esiste c \in [a,b]\! tale che {{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)\!.

Per approfondire, vedi la voce Teorema della media integrale.
Per approfondire, vedi la voce Teorema della media pesata.

Template:Analisi complessa Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di \R.

Definzione 4.1.1.
Sia dato un intervallo [a,b], cona \leq b \in \R. Si definisce partizione di [a,b] un insieme finito di punti,P, tali che
a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b
Scriveremo inoltre \Delta x_i=x_1 - x_i-1\!.

Se ora f è una funzione reale limitata definita su [a,b] , e P una partizione di [a,b] poniamo

  • M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad
  • U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i
  • \overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)

dove \inf, \sup sono calcolati al variare di tutte le partizioni di [a,b] , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, f si dice Riemann-integrabile ( f \in \mathcal{R}([a,b]) ), e definiamo l'integrale di Riemann di f su [a,b] il valore comune dei due integrali,

\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono m,M \in \R tali che m \leq f(x) \leq M per ogni x \in [a,b] , m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

[modifica] Teorema

f \in \mathcal{R}([a,b]) se e solo se per ogni \varepsilon > 0 esiste una partizione P tale che U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon

Se tale condizione è verificata per la partizione P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} e t_i \in [x_{i-1},x_i] allora

\left|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx\right|<\varepsilon.Template:Avanzamento

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