Integrale di Riemann

Rappresentazione grafica del calcolo dell'integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo ad essere stata formulata.

Costruzione dell'integrale

Si consideri la partizione $P$ di un intervallo chiuso $[a,b]$ in n sottointervalli $[x_{k-1},x_k]$ di uguale ampiezza, e si consideri una funzione limitata $f(x)$ definita su $[a,b]$.

Per ogni intervallo della partizione si possono definire due punti:

$m_k = \inf_{x \in [x_{k-1},x_k]} f(x) \qquad M_k = \sup_{x \in [x_{k-1},x_k]} f(x)$

che corrispondono all'ordinata minore $m_k$ nell'intervallo e all'ordinata maggiore $M_k$ dell'intervallo. Si definisce somma integrale inferiore relativa alla partizione $P$ il numero:

$s(P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})$

Ammettendo che $f$ assuma valori positivi nell'intervallo, la somma integrale inferiore è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano. Analogamente, si definisce somma integrale superiore relativa alla partizione $P$ il numero:

$S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})$

La somma integrale superiore è quindi la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione. Si ponga:

$m \leq f(x) \leq M \quad \forall x \in [a,b]$

si dimostra che per ogni coppia di partizioni $P$ e $Q$ di $[a,b]$ si ha:

$m(b-a) \leq s(P) \leq S(Q) \leq M (b-a)$

Per ogni possibile partizione $P$ di $[a,b]$ si definiscono:

$\delta = s(P) \qquad \Sigma = S(P)$

Dal lemma precedente si può dedurre che gli insiemi $\delta$ e $\Sigma$ sono separati cioè:

$s \leq S \qquad \forall s \in \delta \quad \forall S \in \Sigma$

L'assioma di completezza di $\R$ afferma che allora esiste almeno un numero reale $\xi \in \R$ tale che:

$s \leq \xi \leq S \qquad \forall s \in \delta \quad \forall S \in \Sigma$

Se vi è un unico elemento di separazione $\xi$ tra $\delta$ e $\Sigma$ allora si dice che $f(x)$ è integrabile in $[a,b]$ secondo Riemann. L'elemento $\xi$ si indica con:

$\xi : = \int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x$

e si chiama integrale definito di $f$ in $[a,b]$. I numeri $a$ e $b$ sono detti estremi di integrazione ed $f$ è detta funzione integranda. La variabile di integrazione è una "variabile muta" (la variabile della funzione integranda (la variabile di integrazione) è, come si suol dire, una variabile “muta” o “apparente”: nulla cambia se se ne cambia il nome), e $dx$ è detto differenziale della variabile di integrazione.

Definizione

L'integrale secondo Riemann di $f$ nell'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ è definito come il limite per $n$ che tende ad infinito della somma integrale:

$\sigma_{n} = {{b-a} \over {n}} \sum_{k=1}^{n} f(t_{k})$

detta somma integrale di Riemann. Se tale limite esiste, è finito e non dipende dalla scelta dei punti $t_k$, si ha:

$\ \int^{b}_{a} \!f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

L'esistenza di un unico elemento separatore tra $\delta$ e $\Sigma$ nella definizione è equivalente a richiedere che:

$s(P) = S(P) = \int_{a}^{b}\!f(x) \,\mathrm{d}x$

La funzione limitata $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se per ogni $\epsilon > 0$ esiste una partizione $P$ di $[a,b]$ tale per cui:

$|S(P) - s(P)| < \epsilon$

Se la funzione integrabile $f(x)$ è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione, mentre se la funzione $f$ cambia segno su $[a,b]$ allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Proprietà

Per approfondire, vedi Proprietà dell'integrale di Riemann.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e siano $\alpha, \beta \in \R$. Allora:

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx$

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a, b]$ e sia $c \in [a, b]$. Allora:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e $f(x) \geq g(x)$. Allora:

$\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x) dx$

Teorema del confronto

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e tali che $f(x) \le g(x)$ in $[a, b]$. Allora:

$\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x)\,dx$

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a, b]$, allora si ha:

$\left | \int_a^b f(x)\,dx \right | \leq \int_a^b \left | f(x) \right |\,dx$

Integrale di Stieltjes

Per approfondire, vedi integrale di Riemann-Stieltjes e integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

$\int_a^b f \,\mathrm{d} g$.

Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm{d} g(x) = g^\prime(x) \,\mathrm{d} x$, e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $f g^\prime$, cioè:

$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d} g(x) = \int_a^b f(x) g^\prime(x)\,\mathrm{d}x$.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Voci correlate

• Integrale
• Integrale improprio
• Integrale di Lebesgue
• Integrale sui cammini
• Derivata
• Funzione sommabile
• Metodi di integrazione
• Passaggio al limite sotto segno di integrale

Collegamenti esterni

• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)

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