Disuguaglianza di Young

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In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se a e b sono numeri reali positivi e p,q>0 tali che 1/p + 1/q = 1, allora

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

L'uguaglianza vale solo se a^p = b^q, dal momento che ab = a(b^q)^{1 \over q} = aa^{p \over q} = a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}.

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sappiamo che la funzione f(x) = e^x è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).

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