Successione di Cauchy

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In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale per cui vi sono infiniti elementi la cui distanza reciproca è inferiore a una distanza data arbitrariamente piccola. Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico Augustin Louis Cauchy.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si definisce successione di Cauchy una successione  \{x_n \}_{n\in \mathbb N} a valori in uno spazio metrico  (X,d) tale che per ogni \varepsilon >0 esiste N(\varepsilon) = N tale che per tutti gli m,n \geq N si verifica:[1]

d(x_n, x_m ) <\varepsilon

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio X tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in X è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente  \{x_n \}_{n\in \mathbb N} \to x. Esiste allora un indice N tale per cui:

d(x_n, x ) <\frac {\varepsilon}{2} \qquad \forall n > N

Considerando allora n e m maggiori di N si ha di conseguenza:

d(x_n, x_m ) <\frac {\varepsilon}{2} +\frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico (X,d) hanno un limite in X, allora (X,d) viene chiamato spazio completo.[2]

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite L tende a L.

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Si dice diametro di un certo insieme E in uno spazio metrico (X,d) l'estremo superiore:

 \sup_{p,q \in E} \, d(p,q)

e si indica con:

 \mbox{diam } E

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Sia \{x_n\} una successione di Cauchy in (X,d). Allora \{x_n\} è limitata in X.

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni \varepsilon >0 esiste N(\varepsilon) = N tale che:

 d(x_n, x_m ) <\varepsilon \qquad \forall \, m,n \geq N

e dunque esiste N_* che soddisfa:

d(x_n, x_m ) < 1 \qquad \forall \, m,n \geq N_*

da cui:

d(x_n,x_{N_*}) < 1 \qquad \forall n > N_*

In più, esiste r > 0 tale per cui:

r = \max\{d(p_1,p_2),d(p_1,p_3), \dots , d(p_1,p_N),d(p_2,p_3), \dots ,d(p_2,p_N), \dots ,d(p_{N-1},p_N)\}

Dunque:

 d(p_n,p_m) < 1 + r \qquad \forall m,n

e la successione è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza[modifica | modifica sorgente]

Sia \{p_n\} convergente. Allora \{p_n\} è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni \varepsilon > 0 si può trovare N(\varepsilon) = N tale che esiste p che soddisfa:

 d(p_n,p) < \varepsilon \qquad \forall n \geq N

Dunque esiste un indice di successione m \geq n per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

 d(p_n,p_m) \leq d(p_m,p) + d(p,p_n) < 2 \, \varepsilon

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

Sia (X,d), con X compatto e \{p_n\} una successione di Cauchy in X. Allora \{p_n\} converge a qualche punto di X.

Infatti, sia, come da enunciato, \{p_n\} una successione di Cauchy. Per ogni N numero naturale, si costruisca E_N nel seguente modo:

E_N \,:= \, \{p_N,p_{N+1},p_{N+2}, \dots \}
 \overline{E}_N \subset X \qquad \forall \, N

dove  \overline{E} è la chiusura di E (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

\lim_{N \to \infty} \! \mbox{diam } \overline{E}_N = 0

Inoltre:

E_N \supset E_{N+1}

che implica:

\overline{E}_{N} \supset \overline{E}_{N+1}

e quindi esiste un unico p tale che p \in X per ogni  N . A questo punto, per ogni \varepsilon > 0 esiste \tilde{N} tale per cui:

\mbox{diam}\,\overline{E}_N<\varepsilon \qquad \forall \, N \geq \tilde{N}

da cui:

 d(p,q) < \varepsilon \qquad \forall \, q \in \overline{E}_N

che implica:

d(p,p_n) < \varepsilon \qquad \forall n \geq \tilde{N}

il che significa  p_n \to p , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di Rk[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in \mathbb{R}^k ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy  \{\mathbf{x}_n\} a valori in  \mathbb{R}^k , sia come per il teorema precedente:

 E_N := \{\mathbf{x}_N : N = 1,2, \dots \}

Allora è possibile costruire per qualche N un E_N tale che  \mbox{diam} \, E_n < 1 . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme  \{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_N\} , e dall'altra c'è E_N. Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in \mathbb{R}^k ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di  \mathbb{R}^k .

Numeri razionali e numeri reali[modifica | modifica sorgente]

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

x_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}

dove F_n sono i numeri di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica x^2=x+1, ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 5
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 6

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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