Numero poligonale

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In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, può formare un triangolo:

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ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al contrario del numero 9, che è per l'appunto un numero quadrato (o quadrato perfetto)

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Alcuni numeri, come 36, che possono essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli, prendono il nome di numeri quadrati triangolari:

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In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, s-gonali. In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.
Indicando con P_s(n) l’n-esimo numero s-gonale, si definisce in generale
P_s(1) = 1 e P_s(2) = s qualunque sia s, ovvero il secondo numero della serie dei numeri s-gonali è pari al numero dei vertici (o dei lati) del poligono. I successivi numeri s-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti delle stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi.

Numeri triangolari[modifica | modifica wikitesto]

Polygonal Number 3.gif


L’n-esimo numero triangolare T(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri naturali:

T(n)=1+2+3+\ldots +n= \frac{n(n+1)} {2} = \binom{n+1} {2} (formula di Gauss).

I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

 T(n)=T(n-1)+n per n > 1 (ricordando che  T(1)=1

Numeri quadrati[modifica | modifica wikitesto]

Polygonal Number 4.gif


L’n-esimo numero quadrato Q(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri dispari:

Q(n)=1+3+5+\ldots +(2n-1)= n^2.

I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

 Q(n)=Q(n-1)+(2n-1) per n > 1 ( Q(1)=1)

Vale l’identità

Q(n)=T(n)+T(n-1)

ovvero ogni quadrato perfetto può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. L’uguaglianza può essere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato può essere dedotto dalla figura seguente in cui il quadrato è stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e l’altro col lato più corto di uno.

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Numeri pentagonali[modifica | modifica wikitesto]

Polygonal Number 5.gif


L’n-esimo numero pentagonale P_5(n) si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente, aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi e nuovi. In pratica P_5(n) si ottiene sommando a P_5(n-1) i tre nuovi lati di n punti per un totale di 3n-2 punti:

P_5(n)= P_5(n-1)+(3n-2)

Sviluppando all’indietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente:

 P_5(n)= 3(1+2+3+ \ldots +(n-1)+n)-2n=3\frac{n(n+1)}{2} -2n =\frac{1}{2}n(3n-1)

Che è equivalente alla:

P_5(n)=1+4+7+10+ \ldots +(3n-2)

Dalla

P_5(n)=\frac{1}{2}n(3n-1)

con semplici passaggi si ottiene:

P_5(n)=n^2+\frac{n(n-1)}{2}=Q(n)+T(n-1)=T(n)+2T(n-1)

Ovvero qualunque numero pentagonale si può esprimere in funzione di numeri triangolari.

Numeri esagonali[modifica | modifica wikitesto]

Polygonal Number 6.gif


Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le identità:

P_6(n)=1+5+9+ \ldots +(4n-3)
P_6(n)=\frac{4n^2-2n}{2}=n(2n-1)
P_6(n)=P_6(n-1)+(4n-3)
P_6(n)=P_5(n)+T(n-1) = Q(n)+2T(n-1) = T(n)+3T(n-1)

Formule generali[modifica | modifica wikitesto]

Se s è il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero s-gonale (s-2) lati lunghi n, per un totale di (s-2)(n-1)+1 punti, ovvero

P_s(n) = P_s(n-1) + (s-2)(n-1) + 1

Si dimostra facilmente che ciò equivale a

P_s(n) = {{(s-2)n^2-(s-4)n}\over 2}.

Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità

P_s(n)=P_{s-1}(n)+T(n-1)
P_s(n) = P_{s-k}(n)+kT(n-1) \  \forall \ k \le \; s-3
e quindi
P_s(n) = T(n)+(s-3)T(n-1)
Siccome
T(n)=T(n-1)+n, allora
P_s(n) = (s-2)T(n-1) + n

Tabella dei primi numeri s-gonali[modifica | modifica wikitesto]

Quando possibile, nella tabella, le formule generatrici sono state semplificate.

Nome Formula n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Triangolare ½n(n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
Quadrato n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Pentagonale ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
Esagonale n(2n - 1) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
Ettagonale ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
Ottagonale n(3n - 2) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
Ennagonale ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
Decagonale n(4n - 3) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
11-gonale ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
12-gonale n(5n - 4) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
13-gonale ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
14-gonale n(6n - 5) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
15-gonale ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
16-gonale n(7n - 6) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
17-gonale ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
18-gonale n(8n - 7) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
19-gonale ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
20-gonale n(9n - 8) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
21-gonale ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
22-gonale n(10n - 9) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
23-gonale ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
24-gonale n(11n - 10) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
25-gonale ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807
26-gonale n(12n - 11) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
27-gonale ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
28-gonale n(13n - 12) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
29-gonale ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
30-gonale n(14n - 13) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Formula inversa[modifica | modifica wikitesto]

Per un dato numero s-gonale x, è possibile trovare n mediante la formula:

n = \frac{\sqrt{8(s-2)x+(s-4)^2}+s-4}{2(s-2)}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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