1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

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In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + … è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

\sum_{i=0}^{\infty} (-2)^i

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

 1 - 2 + 4 - 8 + \cdots = (1 + 4 + \cdots) - (2 + 8 + \cdots) che corrisponde a \sum_{i=0}^{\infty} (-2)^i = \sum_{i=0}^{\infty} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{\infty} 2^{2i+1} .

Sommatoria numero 1[modifica | modifica sorgente]

Analizziamo ora la prima sommatoria: \sum_{i=0}^{\infty} 2^{2i}.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere  2^{2i} = (2^2)^i = 4^i facendo diventare la somma \sum_{i=0}^{\infty} 4^i;

2) Ponendo un numero m come punto finale otteremo che:\sum_{i=0}^{m} 4^i = \frac {1}3\cdot(4^{m+1}-1)

Sommatoria numero 2[modifica | modifica sorgente]

Analizziamo ora la seconda sommatoria: \sum_{i=0}^{\infty} 2^{2i+1}.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere  2^{2i+1} = 2\cdot (2^2)^i = 2\cdot4^i facendo diventare la somma \sum_{i=0}^{\infty}2\cdot 4^i, il  2 si può portare fuori e ottenere 2\cdot\sum_{i=0}^{\infty} 4^i.

2) Ponendo un numero m come punto finale otteremo che:2\cdot \sum_{i=0}^{m} 4^i = \frac {2}3\cdot(4^{m+1}-1).

Somma parziale[modifica | modifica sorgente]

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari[modifica | modifica sorgente]

Caso nº1: il numero è dispari.

\sum_{i=0}^{1} (-2)^i = 1 - 2 =\sum_{i=0}^{0} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{0} 2^{2i+1}
\sum_{i=0}^{3} (-2)^i = 1 - 2 + 4 - 8=\sum_{i=0}^{1} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{1} 2^{2i+1}
\cdots
\sum_{i=0}^{m} (-2)^i = \sum_{i=0}^{\frac{m-1}2} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{\frac{m-1}2} 2^{2i+1}

La somma diventa quindi: \sum_{i=0}^{\frac{m-1}2} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{\frac{m-1}2} 2^{2i+1} = \frac {1}3\cdot(2^{m+1}-1)-  \frac {2}3\cdot(2^{m+1}-1) = -\frac {1}3\cdot(2^{m+1}-1)

Più precisamente abbiamo che: 4^{\frac{m-1}2+1}=2^{m+1}

Valore Pari[modifica | modifica sorgente]

Caso nº2: il numero è pari.

\sum_{i=0}^{2} (-2)^i = 1 - 2 + 4 =\sum_{i=0}^{1} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{0} 2^{2i+1}
\sum_{i=0}^{4} (-2)^i = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 =\sum_{i=0}^{3} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{2} 2^{2i+1}
\cdots
\sum_{i=0}^{m} (-2)^i = \sum_{i=0}^{m-1} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{m-2} 2^{2i+1}

La somma diventa quindi: \sum_{i=0}^{m-1} 2^{2i} - \sum_{i=0}^{m-2} 2^{2i+1} = \frac {1}3\cdot(4^{m}-1)- \frac {2}3\cdot(4^{m-1}-1) = \frac {1}3\cdot(4^{m}-2\cdot4^{m-1}+1) .

In generale[modifica | modifica sorgente]

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = -\frac {1}3\cdot(2^{m+1}-1)

m pari = \frac {1}3\cdot(4^{m}-2\cdot4^{m-1}+1)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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