Progressione geometrica

La somma della progressione geometrica di ragione 1/2 (pari a 2), può essere illustrata graficamente come somma di aree

In matematica, una progressione geometrica o successione geometrica (detta talvolta, impropriamente, anche serie geometrica, vedi sotto) è una successione di numeri tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è sempre costante. Tale costante è detta ragione della successione.

In generale sarà

$ar^0=a , ar^1=ar , ar^2,ar^3,...$

dove r ≠ 0 è la ragione e a un fattore di scala. Quindi la ragione fornisce una famiglia di successioni geometriche con valore iniziale determinato dal fattore di scala. In realtà il caso r = 0 dovrebbe essere escluso, poiché la ragione non è definita; tuttavia la successione identicamente nulla è inclusa per convenzione.

Formule

Le progressioni geometriche hanno il vantaggio di fornire alcune semplici formule per il calcolo dei termini che le compongono. Il termine n-esimo può essere infatti definito come

$a_n = a\,r^{n}.$

La ragione è allora

$r=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{1/n} \quad \mbox{per } n>0$

e il fattore di scala vale

$a=\frac{a_n}{r^{n}}.$

Esempi

Una successione di ragione 2 e fattore di scala 1 è

1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Una successione di ragione 2/3 e fattore di scala 729 è

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729, ....) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ....

Una successione di ragione −1 e fattore di scala 3 è

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ....) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ....

Una progressione geometrica non nulla mostra una crescita esponenziale o un decadimento esponenziale. In particolare se

• $r=1$, il risultato è costante e vale a,
• $r=-1$, il risultato oscilla tra a e -a,
• $r > 1$, si ha una crescita esponenziale verso infinito (positivo),
• $r < -1$, si ha una crescita esponenziale verso infinito (con un'oscillazione tra valori positivi e negativi).
• $-1 < r < 1$, si ha un decadimento esponenziale verso zero.
• $r=0$, il risultato è zero.

Si confrontino questi risultati con quelli di una progressione aritmetica, la quale mostra una crescita (o una diminuzione) lineare (es. 4, 15, 26, 37, 48, ....). Si noti che i due tipi di progressione sono strettamente connessi: applicando il logaritmo ai termini di una progressione geometrica si ottiene una progressione aritmetica.

Applicazioni

Si osserva facilmente che una progressione geometrica soddisfa la seguente condizione

$a_n = r\,a_{n-1}.$

interpretabile come una equazione alle differenze finite, di cui una progressione di rapporto comune r è soluzione.

L'equazione precedente si ritrova in molti modelli di crescita esponenziale. Ad esempio, il numero di individui in una colonia di batteri che si duplicano ad intervalli di tempo costanti segue una progressione geometrica di ragione 2.

Serie geometrica

Il termine serie geometrica è riservato alla somma di infiniti termini di una progressione geometrica, mentre la scrittura sottostante è detta somma parziale dei primi $n$ termini (con fattore di scala unitario):

$\sum_{k=0}^{n} x^k = x^0+x^1+x^2+x^3+...+x^n$

In generale, per il calcolo del valore di una serie geometrica di ragione $r$ e fattore di scala $a$, si procede nel modo seguente: si moltiplicano entrambi i membri per il fattore $(1-r)$ ottenendo:

$(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}$

poiché tutti i termini del membro destro dell'equazione, ad eccezione di $a$ e $ar^{n+1}$, si annullano fra loro. Allora, posto $r\ne1$:

$\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}$

Nel caso di una progressione geometrica convergente (ovvero con $|r|<1$, i cui termini tendano quindi a 0) la formula per la serie può essere ulteriormente semplificata, tenendo conto che per $n \to \infty$ si ha $r^n \to 0$. Si ottiene quindi

$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$

Voci correlate

• Progressione aritmetica
• Serie geometrica

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica