Serie telescopica

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L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

\sum_{k=1}^\infty a_k

i cui termini appaiono nella forma

a_k=A_{k+1}-A_k

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione \{A_k\}:

S_N=\sum_{k=1}^N (A_{k+1}-A_k)=A_{N+1}-A_N+A_N-A_{N-1}+...+A_3-A_2+A_2-A_1=A_{N+1}-A_1

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione \{S_N\}.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k(k+1)}

Si può dimostrare che la somma di questa serie è 1 infatti

\frac 1 {k(k+1)}=\left(- \frac 1 {k+1}\right)-\left(-\frac 1 k\right)

cioè si tratta di una serie telescopica con A_k=- \frac 1 k e quindi

\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k(k+1)}=\lim_{N\to\infty} \left(- \frac 1 N\right)-(-1)=1


Altro esempio è la serie geometrica:

\sum^n_{k=0} q^k = \sum^n_{k=0} \left(\frac{1-q^{k+1}}{1-q} - \frac{1-q^{k}}{1-q} \right) = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad per \quad q\neq1
\sum^n_{k=0} q^k = n+1 \quad per \quad q=1

da cui si dimostra subito che se \left|q \right| < 1 la serie converge a \quad \frac{1}{1-q}

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