Progressione aritmetica

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In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Se il primo termine di una progressione aritmetica è a e la ragione è d, allora l'n-esimo termine della successione è dato da:

a_n=a+(n-1)d\,

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

a_r=a_s+(r-s)d\,

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma S dei primi n valori di una progressione aritmetica è uguale a:

S={{1\over 2}}n(a_1 + a_n)

dove a_1\, è il primo termine e a_n\, l'n-esimo

Per esempio per trovare la somma dei primi n interi positivi:

cioè calcolare

\sum_{k=1}^n k\,

allora sarà:

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
Dimostrazione

Si deve dimostrare che \frac {n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\,. Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo S\, uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

S=(a_1)+(a_2)+(a_3)+\cdots+(a_n)\,
S=(a_n)+(a_{n-1})+\cdots+(a_2)+(a_1)\,
_______________________________________________
2S=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots+(a_1+a_n)\,


La riga inferiore presenta addendi uguali perché (a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})=\cdots=(a_1+a_n)\,. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'n-esimo termine è dato da a_1+(n-1)d\,, effettuando le seguenti sostituzioni:

  • (a_2)=(a_1+d)\,
    (a_{n-1})=(a_n-d)\,

si ricava che

(a_1+a_n)=(a_1+d)+(a_n-d)\,

è quindi dimostrato che

(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})\,

ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene n\, termini

2S=n(a_1+a_n)\,

dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2\,

S=\frac {n(a_1+a_n)}{2}\,

Numeri di questo tipo sono detti numeri triangolari.

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine a e la ragione d siano interi coprimi (ovvero valga MCD(a,d)=1) si trovano infiniti numeri primi.

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