Progressione aritmetica

In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Calcolo

Se il primo termine di una progressione aritmetica è a e la ragione è d, allora l'n-esimo termine della successione è dato da:

$a_n=a+(n-1)d$

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

$a_r=a_s+(r-s)d$

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma S dei primi n valori di una progressione aritmetica è uguale a:

$S_n={{1\over 2}}n(a_1 + a_n)$

dove $a_1$ è il primo termine e $a_n$ l'n-esimo.

Esempio: Somma dei primi n positivi

Per esempio per trovare la somma dei primi n interi positivi:

$\sum_{k=1}^n k$

si calcola:

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Dimostrazione

Si deve dimostrare che $\frac {n(a_1+a_n)}{2}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$. Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo $S$ uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

$S=(a_1)+(a_2)+(a_3)+\cdots+(a_n)$

$S=(a_n)+(a_{n-1})+\cdots+(a_2)+(a_1)$

______________________________________________________

$2S=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots+(a_1+a_n)$

La riga inferiore presenta addendi uguali perché $(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1})=(a_3+a_{n-2})=\cdots=(a_1+a_n)$. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'n-esimo termine è dato da $a_1+(n-1)d$, effettuando le seguenti sostituzioni:

• $(a_2)=(a_1+d)$
• $(a_{n-1})=(a_n-d)$

e scrivendo

$(a_1+a_n)=(a_1+d)+(a_n-d)$

si dimostra che

$(a_1+a_n)=(a_2+a_{n-1}).$

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene $n$ termini

$2S=n(a_1+a_n)$

dividendo entrambi i membri dell'equazione per $2$

$S=\frac {n(a_1+a_n)}{2}$

Caratteristiche

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine a e la ragione d siano interi coprimi (ovvero valga MCD(a,d)=1) si trovano infiniti numeri primi.

Voci correlate

• Addizione
• Progressione geometrica

Collegamenti esterni

• Arithmetic series - da Mathworld

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