Successione di Fibonacci

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Il volo dei numeri di Mario Merz, un'installazione luminosa sulla Mole Antonelliana, rappresenta la successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0:= 0 ed F1:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2 con n>1. Il termine F0 viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F1:= 1.

La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10)
89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20)
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F30),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F40)

Nella OEIS di Neil Sloane la successione di Fibonacci ha la sigla A000045. I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti. A questi argomenti viene espressamente dedicato un periodico scientifico, The Fibonacci Quarterly.

Indice

[modifica] Proprietà

Nelle formule che seguono talora scriveremo F(n) invece di Fn.

La successione di Fibonacci possiede moltissime proprietà di grande interesse. Certamente la proprietà principale, e maggiormente utile nelle varie scienze, è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1 al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Quindi:

\lim_{n \to \infty}{F_n \over F_{n-1}}=\,\phi\,


dove

\,\phi={1+\sqrt 5 \over 2}=1,6180339887...\,

Bisogna anche notare come, proseguendo via via per la sequenza, il rapporto risulti alternativamente maggiore e minore della costante limite.

Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea 1/\phi = 0,6180339887...\, .

Conviene anche ricordare :

a) \phi - 1 = 1/\phi\,
b) 1 - \phi = -1/\phi = {1-\sqrt 5 \over 2}

in accordo con la definizione di sezione aurea come il numero positivo tale che \phi = {1 + 1/\phi}\, , equazione che, quando vincolata alla condizione \phi > 0\,, ammette l'unica soluzione \phi = {1+\sqrt 5 \over 2} .

Si noti poi come l'opposto del reciproco del numero di Fidia -1/\phi\, che compare nella b) costituisca la seconda soluzione, a segno negativo, dell'equazione algebrica riportata nella definizione. Esso espone proprietà altrettanto interessanti di quelle del suo omologo positivo.

Ragionamenti analoghi possono essere applicati per ottenere altri rapporti irrazionali costanti; per esempio dividendo ogni numero per il secondo successivo si ottiene 0,382 e dividendo ogni numero per il terzo successivo si ottiene 0,236, mentre dividendo ogni numero per il secondo precedente si ottiene 2,618 e dividendo ogni numero per il terzo precedente si ottiene 4,236.

Questi sei rapporti (0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236) sono inoltre molto utilizzati nella teoria delle onde di Elliott, argomento molto importante dell'analisi tecnica dei mercati finanziari.

Si trova anche che l'n-simo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:

F\left(n\right) = \frac{\phi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} .

Questa elegante formula prende il nome da Jacques Binet, che la ricavò nel 1843; tuttavia essa era già nota nel XVIII secolo ad Eulero, Abraham de Moivre e Daniel Bernoulli.

Talora risulta comodo servirsi della successione bilatera costituita da numeri interi Fn:= 0 definiti per n intero qualsiasi aggiungendo alle precedenti le definizioni F_{-n} := (-1)^{n+1} F_n \quad \mathrm{per} \quad n = 1, 2, \ldots

A partire dai numeri di Fibonacci e dalla sezione aurea si possono definire alcune funzioni speciali: coseno iperbolico di Fibonacci, cotangente iperbolica di Fibonacci, seno iperbolico di Fibonacci, tangente iperbolica di Fibonacci.

[modifica] Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità

Un'importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro massimo comun divisore. Infatti è soddisfatta l'identità

MCD(Fn,Fm) = FMCD(n,m)

Da questo segue che F(n) è divisibile per F(m) se e solo se n è divisibile per m. Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci F(n) può essere un numero primo solamente se n stesso è un numero primo, con l'unica eccezione di F4=3 (l'unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è F2=1).[1] Il viceversa tuttavia non è vero: F(19), ad esempio, è uguale a 4181=37*113.

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Fibonacci siano o meno infiniti.

Inoltre si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Fibonacci.

[modifica] Altre proprietà

Tra le altre proprietà minori della sequenza di Fibonacci vi sono le seguenti.

  • Dati quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.
  • Se si prende la sequenza dei quadrati dei numeri di Fibonacci, e si costruisce una sequenza sommando a due a due i numeri della prima sequenza, la sequenza risultante è costituita da tutti e soli i numeri di Fibonacci di posto dispari;
  • Data la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto dispari, se si costruisce la sequenza ottenuta sottraendo a due a due i numeri adiacenti della prima sequenza, si ottiene la sequenza dei numeri di Fibonacci di posto pari.
  • Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1.
  • Gli unici numeri di Fibonacci che sono anche quadrati sono 0, 1 e 144, come dimostrato nel 1963 da John H. E. Cohn[2].
  • L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 da Jean-Dominique Cassini, afferma che per ogni intero n,
F_{n-1}F_{n+1}-F^2_n=(-1)^n

Tale identità è stata generalizzata nel 1879 da Eugène Charles Catalan: F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n+r}F_r^2.\,

  • La somma dei reciproci dei numeri di Fibonacci converge, come si può vedere applicando il criterio del rapporto, ricordando che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi tende a \phi\approx 1,618>1. La somma di questa serie è circa 3,35988566624; è stato dimostrato che questo numero è irrazionale.

[modifica] Generalizzazioni

Una successione di Fibonacci può anche non cominciare necessariamente con due 1. Questa successione è detta successione di Fibonacci generica o generalizzata. Ogni successione generica di Fibonacci rispetta però una singolare caratteristica, la somma dei primi 10 elementi sarà sempre uguale a 11 volte il settimo elemento. La dimostrazione è molto semplice: elenchiamo i primi 10 elementi in questo modo:

1° elemento: m
2° elemento: n
3° elemento: m + n
4° elemento: m + 2n
5° elemento: 2m + 3n
6° elemento: 3m + 5n
7° elemento: 5m + 8n
8° elemento: 8m + 13n
9° elemento: 13m + 21n
10° elemento: 21m + 34n

Sommando tutti i dieci elementi, si otterrà 55m + 88n che è proprio uguale a 11 volte il settimo elemento.

Ogni successione generalizzata conserva la proprietà che il rapporto tra due numeri consecutivi tende alla sezione aurea. Una particolare successione di Fibonacci generalizzata, quella ottenuta ponendo m=2 e n=1, è detta successione di Lucas, dal matematico francese Édouard Lucas.

[modifica] Successioni tribonacci e tetranacci

La successione di Fibonacci può essere anche generalizzata non richiedendo che ogni numero sia la somma dei due successivi, ma degli ultimi n, dove n è un qualsiasi numero intero. Se n=1 si ottiene una successione degenere i cui termini sono tutti 1, se n=2 si ottiene la successione di Fibonacci, mentre per n=3 e 4 si ottengono rispettivamente le cosiddette successione Tribonacci e Tetranacci. Caratteristica comune di queste successioni è che il rapporto tra due termini consecutivi tende alla radice reale compresa tra 1 e 2 del polinomio

x^n-x^{n-1}-x^{n-2}-\cdots-x-1

Anche la somma dei reciproci degli elementi di questa successione converge (se n>1), come si può vedere facilmente considerando che ogni k-esimo elemento di una successione è maggiore o uguale del corrispondente elemento F(k) della successione di Fibonacci, e quindi il reciproco è minore.

[modifica] Curiosità

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Molti degli "avvistamenti" della serie di Fibonacci sono un po' forzati: lo rivelano Gael Mariani e Martin Scott dell'Università di Warwick, con un articolo su New Scientist del settembre 2005.

  • Per motivi legati allo sviluppo dei fiori, il numero di petali di molti di essi è un numero di Fibonacci. Per esempio il giglio ha 3 petali, i ranuncoli ne hanno 5, la cicoria 21, la margherita spesso 34 o 55; la testa dei girasoli è costituita da due serie di spirali, una in un senso ed una in un altro. Il numero di spirali di senso diverso differisce per 21 e 34, 34 e 55, 55 e 89, o 89 e 144 semi e lo stesso avviene per le pigne, per le conchiglie, per l'ananas.
  • Il nostro cervello ha una particolare attitudine a riconoscere nelle onde sonore la serie di Fibonacci, ed è per questo motivo che nel mondo della musica vi è una forte ricorrenza di questi numeri; basti pensare ad un pianoforte che presenta ottave da otto tasti bianchi e 5 neri che generano quindi 13 note; inoltre la prima, la terza e la quinta creano la base maggiore di tutti gli accordi e tra di loro vi è una separazione di 2 toni. Non è quindi una coincidenza che molti strumenti musicali siano costruiti seguendo le proporzioni della serie di Fibonacci; tant'è che il famoso Stradivari, noto per i suoi proverbiali violini, per il calcolo del foro centrale utilizzò la logica del matematico toscano. (due frasi sopra esposte riguardo al pianoforte e agli accordi musicali sono alquanto forzate, poiché le note musicali sono 12 e nell'ottava una è ripetuta; poi l'affermazione sulla prima, terza e la quinta nota è basata sulla scala maggiore e non sui semitoni, cioè prendendo in considerazione tutte le note del sistema temperato).[senza fonte].
  • Molte tastiere dei computer portatili sono composte da 89 tasti

[modifica] Nell'arte

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d'arte; ad esempio Mario Merz li ha usati nell'installazione luminosa denominata Il volo dei numeri su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino. Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997. [1]

Anche a Barcellona e a Napoli è stata creata un'installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell'area della Barceloneta, all'interno dell'area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all'interno della stazione "Vanvitelli" della Linea 1 della Metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all'interno della stazione vera e propria.

Per quanto riguarda la musica, se in passato un autore come J.S. Bach utilizzava già elementi dei frattali e della sezione aurea nelle sue composizioni, nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, applicarono sistematicamente i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza. Più recentemente si possono citare i Tool, che nel brano Lateralus fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...]To swing on the spiral[...]Spiral out. keep going[...])

[modifica] Algoritmo

L'elemento n-esimo della successione di Fibonacci può essere calcolato in linguaggio C con la seguente funzione ricorsiva:

int fib(int n)
{
    if (n==0 || n==1)
        return n;
 
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

[modifica] Note

  1. ^ La sequenza A005478 dell'OEIS elenca i primi numeri primi presenti nella successione di Fibonacci; la sequenza A001605 ne elenca invece gli indici
  2. ^ J H E Cohn. «Square Fibonacci Numbers Etc», pag. 109-113.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia e riferimenti

[modifica] Collegamenti esterni

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