Potenza di due

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In matematica, una potenza di due è ogni numero intero potenza del numero due, ovvero che si può ottenere moltiplicando due per sé stesso un certo numero di volte. Una potenza di due è anche 1, in quanto 20 = 1. Scritta nel sistema binario, una potenza di due assume sempre la forma 10000...0, somigliando alle potenze di 10 nel sistema decimale.

Visto che il due è la base del sistema binario, le potenze di due sono importanti in informatica. In particolare, 2n è il numero di modi in cui possono essere disposti i bit in un intero di lunghezza n, quindi i numeri che sono inferiori di uno ad una potenza di due indicano il limite massimo degli interi nei computer e nei linguaggi di programmazione (uno di meno in quanto è 0, non 1, il limite inferiore). Di conseguenza, numeri del genere sono frequenti nel software. Ad esempio, nel videogioco La leggenda di Zelda per il Nintendo Entertainment System ad 8 bit, si potevano raccogliere fino ad un massimo di 255 rupie: il numero veniva registrato in uno spazio di un byte, che è lungo 8 bit, e quindi il valore massimo era 28-2+4-3 = 255.

Le potenze di due misurano anche la memoria dei computer. Un nibble equivale a una quaterna (22) di bit, un byte equivale ad otto (23) bit, mentre un kilobyte (o più precisamente un kibibyte) equivale a 1.024 (210) byte. Quasi tutti i registri dei processori hanno dimensioni che sono potenze di due (32 nella maggioranza dei personal computer attuali).

Attenzione a non confondere il numero di bit con i valori (o combinazioni) che questi sono in grado di rappresentare (la quantità di informazioni). Infatti, ricordando che ogni bit può assumere 2 valori nel sistema binario (lo zero e l'uno), una sequenza di 8 bit (cioè un byte) è in grado di rappresentare ben (28) ovvero 256 valori o elementi diversi. Per intenderci:

00000000 = 0
00000001 = 1
00000010 = 2
00000011 = 3
....
11111111 = 255

Se si tiene conto, come già detto prima nell'esempio del videogioco, anche dello 0, sono in totale 256 combinazioni o valori rappresentabili da un byte. Di conseguenza, un byte è composto da otto (23) bit ma è in grado di rappresentare (28) 256 valori diversi.

Le potenze di due si possono trovare anche in molti altri tecnicismi. In molti hard disk almeno uno fra la dimensione dei settori, il numero di settori per traccia ed il numero di tracce per piatto è una potenza di due. La dimensione logica dei blocchi è quasi sempre una potenza di due.

In molte situazioni, come nel caso delle risoluzioni video, si trovano numeri che non sono potenze di due, ma possono essere scritte come la somma di due o tre potenze di due, o di potenze di due meno uno. Ad esempio, 640 = 512 + 128 e 480 = 32 × 15. Detto in altro modo, si tratta di numeri con scritture binarie molto semplici (in termini specifici, scritture con bassa complessità di Kolmogorov).

Nell'ambito della matematica le potenze di due forniscono i numeri dei sottoinsiemi degli insiemi finiti: più precisamente 2n è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Se si distinguono i sottoinsiemi con 0, 1, 2, ..., n elementi si arriva alla seguente significativa identità combinatoria:

 \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n

In teoria dei numeri un numero primo che è minore di uno rispetto ad una potenza di due che ha per esponente un numero primo è chiamato numero primo di Mersenne. Ad esempio, il numero primo 31 è un primo di Mersenne in quanto 25-1 = 31.

Le prime quaranta potenze di due[modifica | modifica wikitesto]

2 1
=
2      
211
=
2 048      
221
=
2 097 152      
231
=
2 147 483 648  
2 2
=
4  
212
=
4 096  
222
=
4 194 304  
232
=
4 294 967 296  
2 3
=
8  
213
=
8 192  
223
=
8 388 608  
233
=
8 589 934 592  
2 4
=
16  
214
=
16 384  
224
=
16 777 216 
234
=
17 179 869 184  
2 5
=
32  
215
=
32 768  
225
=
33 554 432  
235
=
34 359 738 368  
2 6
=
64  
216
=
65 536  
226
=
67 108 864  
236
=
68 719 476 736  
2 7
=
128  
217
=
131 072  
227
=
134 217 728  
237
=
137 438 953 472  
2 8
=
256  
218
=
262 144  
228
=
268 435 456  
238
=
274 877 906 944  
2 9
=
512  
219
=
524 288  
229
=
536 870 912  
239
=
549 755 813 888  
  210  
  =  
   1 024  
  220  
  =  
   1 048 576  
  230  
  =  
   1 073 741 824  
  240  
  =  
   1 099 511 627 776  

Potenze di due i cui esponenti sono potenze di due[modifica | modifica wikitesto]

Poiché le moderne celle di memoria e registri hanno spesso un numero di bit che è una potenza di due, le potenze di due che si trovano più frequentemente sono quelle in cui anche l'esponente è a sua volta una potenza di due:

2  = 21
4  = 22
16  = 24
256  = 28
65 536  = 216
4 294 967 296  = 232
18 446 744 073 709 551 616  = 264
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456  = 2128
   115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936    =     2256  

Molti di questi numeri indicano il numero di valori rappresentabili usando i comuni tipi di dato. I primi minicomputer degli anni 1970 disponevano di indirizzi di soli 16 bit e le loro memorie centrali non potevano superare i 64 kibibyte (allora si scriveva 64K). Negli anni 1980 cominciò a diventare comune la possibilità di servirsi di una word di 32 bit (4 byte) per rappresentare 232 valori distinti, che possono essere interpretati come semplici liste di bit, o come più comunemente accade come un intero privo di segno da 0 a 232-1 o come un intero con segno fra -231 e 231-1. Con i microprocessori più recenti una doubleword di 64 bit consente di rappresentare gli interi naturali da 0 a 264-1 o gli interi fra -263 e 263-1.

Altre potenze di due notevoli[modifica | modifica wikitesto]

  • 224 = 16 777 216: il numero di colori diverso che possono essere rappresentati in truecolor, come nella maggioranza degli schermi per computer. Questo numero risulta dall'uso del sistema RGB a tre canali, con 8 bit per ogni canale, e quindi 24 in totale.
  • 248 = 281 474 976 710 656: estensione del truecolor, supportata da diverse macchine fotografiche digitali e scanner di fascia medio-alta. Viene codificato sempre in RGB ma con i singoli canali Red Green Blue da 16 bit l'uno. Molti formati grafici (JPEG, TIFF, TGA, ...) sono stati adattati per supportare questa modifica. Viene anche chiamato RGB161616

La leggenda sulla nascita degli scacchi[modifica | modifica wikitesto]

Una storiella legata alla potenza di due e che spiega come è facile farsi ingannare quando si ha a che fare con i numeri è la leggenda sulla nascita degli scacchi.

Secondo una leggenda indiana, l'inventore degli scacchi fu Sessa, maestro di un principe. Con questo gioco Sessa voleva far capire che il successo del comandante deriva dalla giusta armonia tra lui ed i suoi sottoposti, così come il Re degli scacchi, per quanto il pezzo più importante, non può che perdere senza l'appoggio dei pedoni e degli altri pezzi. Il principe fu molto colpito dalla sagacia del gioco, e promise a Sessa qualunque cosa egli avesse richiesto come ricompensa. In premio Sessa chiese un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza e così via, sempre raddoppiando fino alla sessantaquattresima casella. Sembrava una richiesta modesta, e Sessa fu deriso da molti: avrebbe potuto chiedere molto oro, ma apparentemente si stava accontentando di qualche chilo di grano. Il principe ordinò che la richiesta fosse esaudita ma, dopo che i contabili di palazzo ebbero calcolato il numero dei chicchi promessi, la verità venne presto rivelata: si trattava di pagare al furbo Sessa ben 264-1 chicchi (cioè la somma di 1+2+22+23+....+263) equivalenti a 18.446.744.073.709.551.615 chicchi, una quantità tale che i raccolti di tutto il mondo non bastavano a soddisfare! Ci sono diverse versioni su come reagì il principe, una volta scoperto l'importo del conto da pagare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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