Sistema numerico binario

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Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in base 2, cioè che utilizza 2 simboli, tipicamente 0 e 1, invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Di conseguenza, la cifra in posizione N (da destra) si considera moltiplicata per 2^N (anziché per 10^N come avverrebbe nella numerazione decimale).

Ecco una tabella che confronta le rappresentazioni binarie, esadecimali e decimali di alcuni numeri:

binario esadecimale decimale 
0000  =     0      =    0
0001  =     1      =    1
0010  =     2      =    2
0011  =     3      =    3
0100  =     4      =    4
0101  =     5      =    5
0110  =     6      =    6
0111  =     7      =    7
1000  =     8      =    8
1001  =     9      =    9
1010  =     A      =   10
1011  =     B      =   11
1100  =     C      =   12
1101  =     D      =   13
1110  =     E      =   14
1111  =     F      =   15

È usato in informatica per la rappresentazione interna dei numeri, grazie alla semplicità di realizzare fisicamente un elemento con due stati anziché un numero superiore, ma anche per la corrispondenza con i valori logici vero e falso.

Il sistema numerico binario è considerato tra le più grandi invenzioni del matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz; benché cadde ben presto nel dimenticatoio e solo nel 1847 verrà riscoperto, grazie al matematico inglese G. Boole, che aprirà l'orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del '900 e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico.

La formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con d si indica la cifra di posizione n all'interno del numero, partendo da 0) è

Ad esempio 1001₂ = 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 9₁₀

[modifica] Rappresentazioni di numeri binari

I numeri binari, in campo informatico, non sono utilizzati esclusivamente per memorizzare numeri interi positivi ma, mediante alcune convenzioni, è possibile scrivere numeri binari con segno e parte decimale senza introdurre nuovi caratteri (come la virgola e il segno meno, non memorizzabili su di un bit).

[modifica] Rappresentazione in modulo e segno

Questo è il modo più semplice per rappresentare e distinguere numeri positivi e negativi: al numero binario vero e proprio viene anteposto un bit che, per convenzione, assume il valore 0 se il numero è positivo ed assume il valore 1 se il numero è negativo. Il grande difetto di questa rappresentazione è quello di avere due modi per scrivere il numero 0: 00000000 e 10000000 significano infatti +0 e -0.

[modifica] Rappresentazione in complemento a 2

Per approfondire, vedi la voce Complemento a due.

Questo metodo di rappresentazione ha notevoli vantaggi, soprattutto per effettuare somme e differenze: in pratica ai numeri viene anteposto un bit di valore zero; se poi il numero è negativo è necessario convertirlo in complemento a 2: per farlo è sufficiente leggere il numero da destra verso sinistra e invertire tutte le cifre a partire dal primo bit pari a 1 (escluso). Per fare un esempio:

Come è possibile notare seguendo questo metodo il primo bit diventa automaticamente il bit del segno (come per il metodo precedente). Viene però risolto il problema dell'ambiguità dello 0 (in complemento a 2 00000 e 10000 hanno significati diversi) e vengono enormemente facilitate le operazioni di somma e differenza, che si riducono alla sola operazione di somma: per spiegare meglio basta fare un esempio:

[modifica] Rappresentazione a virgola fissa

Dato che in un bit non è rappresentabile la virgola il metodo più semplice per rappresentare numeri frazionari è quello di scegliere arbitrariamente la posizione della virgola (ad es. se si sceglie di usare 4 bit per la parte intera e 4 per la parte frazionaria: 10100101₂ significa 1010,0101₂).

[modifica] Rappresentazione in virgola mobile P754

Esistono innumerevoli modi per rappresentare numeri in virgola mobile ma il sistema più utlizzato è lo standard IEEE P754; questo metodo comporta l'utilizzo della notazione scientifica, in cui ogni numero è identificato dal segno, da una mantissa (1,xxxxx) e dall'esponente (n^yyyyy). La procedura standard per la conversione da numero decimale a numero binario P754 è la seguente:

1. Prima di tutto il numero, in valore assoluto, va convertito in binario.
2. Il numero va poi diviso (o moltiplicato) per 2 fino a ottenere una forma del tipo 1,xxxxxx.
3. Di questo numero viene eliminato l'1 iniziale (per risparmiare memoria)
4. Il numero di volte per cui il numero è stato diviso (o moltiplicato) per 2 rappresenta l'esponente: questo valore (decimale) va espresso in eccesso 127, ovvero è necessario sommare 127 e convertire il numero risultante in binario. Nel caso di rappresentazione a precisione doppia (v. definizione seguente) il valore dell'esponente viene espresso in eccesso 1023.

A questo punto abbiamo raccolto tutti i dati necessari per memorizzare il numero: in base al numero di bit che abbiamo a disposizione possiamo utilizzare tre formati: il formato a precisione singola (32 bit), il formato a precisione doppia (64 bit) e il formato a precisione quadrupla (128 bit).

1. Nel primo caso possiamo scrivere il valore utilizzando 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente e 23 bit per la mantissa.
2. Nel secondo caso servirà 1 bit per il segno, 11 bit per l'esponente e 52 per la mantissa.
3. Nel terzo caso servirà 1 bit per il segno, 15 bit per l'esponente e 112 per la mantissa.

Per esempio, convertiamo il valore − 14,3125₁₀ in binario P754 single:

1. Convertiamo prima di tutto il numero: 14₁₀ = 1110₂ per la parte intera e 0,3125₁₀ = 0,0101₂. Quindi il numero definitivo è 1110,0101₂ (segno escluso).
   

   

   Definizione di somma binaria con un esempio
2. Dividiamo poi il numero per 2 per ottenere la seguente notazione: 1110,0101₂ = 1,1100101₂ * 2³
3. La mantissa diventa, quindi: 1100101.
4. Per esprimere l'esponente in eccesso 127, infine: 127 + 3 = 130₁₀ = 10000010₂

Il numero, alla fine, sarà espresso nel formato:

1. addizione binaria
2. 1+1=10

[modifica] Voci correlate

• Potenza di due
• Sistema numerico esadecimale
• Conversione tra basi potenze di 2
• Sistemi di numerazione
• Sistema numerico ottale
• Sistema numerico decimale
• Orologio binario
• SZTAKI Desktop Grid
• BIT
• Byte

[modifica] Collegamenti esterni

• Traduttore da codice binario ad Ascii e viceversa
• Traduttore da codice binario ad Ascii e viceversa
• Traduttore da codice decimale a codice binario