Serie sommativa unitaria

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In matematica, la serie sommativa unitaria, denominata in termini matematici anche 1 + 1 + 1 + 1 + ... è una serie divergente, molto simile alla serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · · (o serie di Grandi) e alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.

Essa è rappresentabile anche sotto forma di sommatoria come

\sum_{n=1}^{\infin} n^0 = 1 + 1 + 1 + 1 +\cdots

Ponendo un limite m si può dire che:

\sum_{n=1}^{m} n^0 = m

Considerando che n appartiene a \mathbb{N^*}, cioè l'insieme dei numeri naturali senza lo 0. La formula risulta facilmente dimostrabile per induzione.

Diagramma di Venn degli insiemi notevoli
\sum_{n=1}^{1} n^0 = 1^0 = 1
\sum_{n=1}^{2} n^0 = 1^0 + 2^0 = 1 + 1 =2
\sum_{n=1}^{3} n^0 = 1^0 + 2^0 + 3^0 = 1 + 1 + 1 =3
\sum_{n=1}^{4} n^0 = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 = 1 + 1 + 1 + 1 =4

Ogni numero elevato a 0 da 1 come dimostrato dalla seguente proprietà:

 \frac{n^m}{n^m} = n^{m-m} = n^0 = 1 \;

Naturalmente n può appartenere a tutti gli insiemi : l'insieme \mathbb{N^*}, l'insieme:\Z,l'insieme \Q,l'insieme \R e l'insieme \C .Non può però appartenere a \mathbb{N} perché \ 0^0 non ha significato.

Sul Piano Cartesiano[modifica | modifica wikitesto]

In un Sistema di riferimento cartesiano la funzione \ f(x) = \sum_{n=1}^{x} n^0 indica gli stessi punti della funzione \ f(x) = x

Con \ x > 0 .

La funzione \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 indica tutte la rette del 1° quadrante con :\ k \geq 0  .

La funzione \ f(x) = k\sum_{n=1}^{x} n^0 indica tutte la rette del 4° quadrante con :\ k \leq 0  .

Con \ x < 0  :

La funzione \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 indica tutte la rette del 2° quadrante con :\ k \geq 0  .

La funzione \ f(x) = k\sum_{n=1}^{-x} n^0 indica tutte la rette del 3° quadrante con :\ k \leq 0  .

Le funzioni sopraelencate hanno un solo zero in \ (0;0) l'origine degli assi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Tenendo conto che \ n^0 = \frac{1}{n^0} e che \ n ^0 = (1) allora possiamo considerare la Somma unitaria come un caso della Funzione zeta di Riemann in cui  s = 0 .

\zeta(0) =\frac 1{1^0}+\frac1{2^0}+\frac 1{3^0}+\cdots = 1 + 1 + 1 +\cdots = \sum_{n=1}^\infty n^0 .

Dimostrazione della somma[modifica | modifica wikitesto]

Carl Friedrich Gauss, l'autore dei numeri triangolari

Manipolando l'espressione iniziale possiamo scrivere la Somma unitaria attraverso la differenza di due sommatorie:

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n

Grazie a questa espressione possiamo fornire una seconda dimostrazione alla formula:

\sum_{n=1}^{m} n^0 = m

Sapendo che \sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2} e che \sum_{n=0}^{m-1} n = \frac{m(m-1)}{2} allora

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \frac{m(m+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac m 2(m+1-m+1) =\frac m 2 (2) = m

Abbiamo così ottenuto lo stesso valore iniziale, verificandolo.

La formula \frac{m(m+1)}{2} = \binom{m+1} {2} indica un Numero triangolare, scoperto da Gauss.

Formule correlate[modifica | modifica wikitesto]

Differenza tra somme[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo quindi enunciare la seguente formula:

\sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n

Verifichiamo con \ m =  1 , 2  :

\ m = 1
\sum_{n=1}^{1} n - \sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n che corrisponde a
\sum_{n=1}^{1} 1 - \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 = 1 - 1 = 0 che significa \ 0 = 0 , sempre verificato.
\ m = 2
\sum_{n=1}^{2} n - \sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n che corrisponde a
\sum_{n=1}^{2} 1 + 2 - \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=0}^{1} 1 = 3 - 2 = 1 che significa \ 1 = 1 , sempre verificato.

Formule legate alla differenza[modifica | modifica wikitesto]

Partendo dalla formula

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=1}^{m} n - \sum_{n=0}^{m-1} n

possiamo ottenerne altre simili

1 :\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=0}^{m-1} n - \sum_{n=-1}^{m-2} n

2 :\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-1}^{m-2} n - \sum_{n=-2}^{m-3} n

3 :\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-2}^{m-3} n - \sum_{n=-3}^{m-4} n

che dimostriamo per \ m = 1 , 2  :

1 :\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=0}^{0} n - \sum_{n=-1}^{-1} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=0}^{0} 0 - \sum_{n=-1}^{-1} -1 che significa \ 1 = 0 + 1 che è uguale a \ 1 = 1 .

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=0}^{1} n - \sum_{n=-1}^{0} n = \sum_{n=1}^{1} 2 = \sum_{n=0}^{2} 1 - \sum_{n=-1}^{0} -1 che significa \ 2 = 1 + 1 che è uguale a \ 2 = 2 .

2 :\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-1}^{-1} n - \sum_{n=-2}^{-2} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-1}^{-1} -1 - \sum_{n=-2}^{-2} -2 che significa \ 1 = -1 + 2 che è uguale a \ 1 = 1 .

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-1}^{0} n - \sum_{n=-2}^{-1} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-1}^{0} -1 - \sum_{n=-2}^{-1} -3 che significa \ 2 = -1 + 3 che è uguale a \ 2 = 2 .

3 :\sum_{n=1}^{1} n^0 = \sum_{n=-2}^{-2} n - \sum_{n=-3}^{-3} n = \sum_{n=1}^{1} 1 = \sum_{n=-2}^{-2} -2 - \sum_{n=-3}^{-3} -3 che significa \ 1 = -2 + 3 che è uguale a \ 1 = 1 .

\sum_{n=1}^{2} n^0 = \sum_{n=-2}^{-1} n - \sum_{n=-3}^{-2} n = \sum_{n=1}^{2} 2 = \sum_{n=-2}^{-1} -3 - \sum_{n=-3}^{-2} -5 che significa \ 2 = -3 + 5 che è uguale a \ 2 = 2 .

Formula generale per differenza[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo quindi scrivere la formula generale:

\sum_{n=1}^{m} n^0 = \sum_{n=-k+1}^{m-k} n - \sum_{n=-k}^{m-(k+1)} n

con \ k = 0 , 1 , 2 , 3 , ... che appartiene a \mathbb{N}.

Formule legate al prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Inoltre possiamo dire :

\sum_{n=1}^{m+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = 1

che risulta facilmente dimostrable con l'utilizzo delle rispettive formule :

\sum_{n=1}^{m+1} n^0 = m+1 e \prod_{p=1}^{m} (\frac{p}{p + 1}) = \frac {1}{m + 1}

Moltiplicandoli otteniamo \ m+1 \cdot \frac {1}{m + 1} = 1

Approfondendo vediamo : \sum_{m=1}^s(\sum_{n=1}^{s+1} n^0 \cdot \prod_{p=1}^{s} (\frac{p}{p + 1})) = \sum_{n=1}^{s} n^0

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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