1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

In matematica, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ rappresenta un esempio elementare di una serie geometrica che converge assolutamente. La sua somma vale

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

Dimostrazione

La somma

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

è definibile come

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

per n che tende a infinito. Moltiplicando $s_{n}$ per 2 si perviene alla relazione:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.$

e sottraendo $s_{n}$ da ambo i membri

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$

quindi, per n che tende a infinito, $s_{n}$ tende a 1.

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