Serie

Nell'analisi matematica il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini.

Formalmente si definisce come serie una successione associata ad un'altra successione predeterminata di elementi di un campo o di un anello: si chiede che il termine n-esimo della successione serie sia la somma dei primi n componenti della successione predeterminata (somma chiamata somma parziale n-esima della successione predeterminata).

Le serie si distinguono primariamente in base alla natura degli oggetti che vengono sommati. Le serie che ragionevolmente vanno introdotte per prime sono le serie di numeri razionali, entità che sono utilizzate per individuare numeri irrazionali, sia al livello della determinazione di specifici numeri irrazionali calcolabili, sia al livello della trattazione in generale dei numeri irrazionali. Negli sviluppi dell'analisi matematica che seguono la introduzione dei numeri irrazionali vengono ampiamente utilizzate serie di numeri reali e complessi. Inoltre vengono ampiamente trattate serie di funzioni di variabile reale e complessa, entità che costituiscono efficaci strumenti per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali.

Vengono anche considerate serie di altre entità: serie formali di potenze, serie di vettori, serie di matrici e, più in astratto, di operatori e serie di variabili non commutative, cioè serie di stringhe (nell'ambito della teoria dei linguaggi formali).

Definizioni

Consideriamo una prima successione numerica $\{a_n\,:\, n\in \mathbb{P} \subseteq \N \}$ ed associamo ad ogni a_n la cosiddetta somma parziale definita da:

s₁ = a₁

s₂ = a₁ + a₂

s₃ = a₁ + a₂ + a₃

...

s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n

...

ovvero dall'espressione generale

$s_n = \sum_{k=1}^n a_k \,\!$

Definiamo dunque serie la successione delle somme parziali.

In altri termini l'n-esima componente della nuova successione è la somma delle prime n componenti della successione di partenza; essa è chiamata somma parziale n-esima della prima successione, mentre a_n viene detto termine generale.

Con la scrittura $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \,\!$ si intende formalmente il limite della successione delle somme parziali, ovvero $\lim_{n\to + \infty} s_n$.
Il limite sopra enunciato si definisce somma della serie, ed esprime il carattere della serie. Con tale scrittura però è ormai invalsa l'abitudine di riferirsi anche alla serie in sé, non solamente alla sua somma. Sono dunque entrambe sensate le scritture $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \,\!$ e $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k < \infty$, in quanto con la prima ci si riferisce alla successione delle somme parziali, con la seconda si asserisce che il suo limite (la sua somma) esiste ed è finito.

La precedente definizione può ripetersi in modo prevedibile per successioni e serie i cui indici corrono sui numeri naturali con lo zero, cioè l'indice varia in n = 0, 1, 2, ... . Queste definizioni possono essere riprese anche per successioni e serie di funzioni: ad esempio per funzioni di una variabile complessa z:

$\{a_n(z)\,|\!:\, n\in \mathbb{N}\} \qquad s_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k(z)$

Carattere delle serie

Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini. Per studiare il carattere di una serie si può calcolare il limite per n che tende ad infinito della sua somma parziale.

Si distinguono tre casi:

• Se il limite esiste ed è finito la serie si dice convergente.
• Se il limite è infinito la serie si dice divergente.
• Se il limite non esiste la serie si dice indeterminata o oscillante.

Se la serie converge o diverge, la serie si dice regolare.

Criterio di convergenza di Cauchy per le serie numeriche

Una serie numerica converge se e solo se:

$\forall \varepsilon > 0 \ \exist \nu \in N \,:\, \forall n \ge \nu \ \forall p \ge 1 \ \left|\sum_{j = n + 1}^{n + p} a_j \right| < \varepsilon$

L'enunciato è sostanzialmente il criterio di convergenza di Cauchy applicato alla successione delle somme parziali.

Condizione necessaria per la convergenza

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga è che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Un controesempio alla sufficienza è dato dalla serie armonica.

Dimostrazione

Sia s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n la somma parziale ennesima. La convergenza della serie significa che esiste il limite finito $\lim_{n \to \infty}s_n = l$, ovviamente si ha pure che $\lim_{n \to \infty}s_{n-1} = l$.
Poiché a_n = s_n − s_{n − 1} si ha $\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}{s_n - s_{n-1}} = l - l = 0$

Serie numeriche fondamentali

È importante conoscere il carattere di alcune cosiddette serie fondamentali, cioè serie specifiche che vengono utilizzate spesso nell'applicazione dei criteri di convergenza.

• Serie di Mengoli
• Serie geometrica
• Serie armonica
• Serie resto

Serie notevoli

• $\sum^n_{k=0} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ da cui viene per |q|<1 $\sum^\infty_{k=0} q^k = \frac{1}{1-q}$
• $\sum^\infty_{k=1} \left(\frac{1}{k}\right)^2= \frac{\pi^2}{6}$
• $\sum^\infty_{k=0} \left(\frac{1}{2k+1}\right)^2= \frac{\pi^2}{8}$
• $\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{1}{2k+1}= \frac{\pi}{4}$
• $\sum^\infty_{k=0} \left(\frac{z^k}{k!}\right)= e^z$
• $\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin z$
• $\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} = \cos z$
• $\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sinh z$
• $\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k}}{(2k)!} = \cosh z$
• $\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} = \log(1+x)$ con $x \in \left(-1 ; 1 \right]$
• $\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \arctan(x)$ con $x \in \left[-1 ; 1 \right]$

Serie numeriche

Nelle serie numeriche il termine generale della serie a_n è un numero, reale o complesso, che dipende solo da n e non da altre variabili.

Per la determinazione della convergenza o meno delle serie numeriche conviene individuarne tre tipi per i quali sono disponibili criteri di convergenza spesso semplici ed efficaci.

Serie a termini positivi

Una serie si dice a termini positivi quando tutti i suoi termini sono reali positivi. Si noti che tali serie possono solo divergere o convergere.

$s_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \,\!$

Dove a_n è un numero reale positivo.

Una proprietà di questo tipo di serie è che le somme parziali sono monotone non decrescenti:
$s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \geq s_n$, perciò per il teorema di esistenza del limite nel caso di successioni monotone, questo tipo di serie convergono, se le somme parziali n-esime sono limitate, o sono divergenti ma non possono essere indeterminate.

Somma di serie

Date le serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n , \ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ si dice somma delle due serie la serie:

$\sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + b_n)$

Se le serie a_n e b_n sono convergenti anche la somma delle due serie sarà convergente. Se una delle due serie diverge anche la somma delle serie sarà divergente.

Prodotto di serie

Date le serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n , \ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ si definisce prodotto di Cauchy delle due serie la serie:

$\sum_{n=0}^{+\infty} c_n$

dove

$c_n = (a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + ... + a_0 b_n) = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_k$

Se le due serie a termini positivi sono convergenti allora il prodotto è convergente e la sua somma vale il prodotto delle somme delle serie date. Questo risultato si estende a serie di termini qualunque nell'ipotesi che almeno una delle serie sia assolutamente convergente. Se entrambe le serie convergono ma non assolutamente, la successione c_n potrebbe non essere infinitesima e il prodotto potrebbe non convergere, come avviene nel caso a_n = b_n = ( − 1)ⁿ(n + 1) ^{− 1 / 2}.

Serie a termini di segno qualunque

Si dicono serie a termini di segno qualsiasi le serie a termini reali le quali presentano sia infiniti termini positivi che infiniti termini negativi.

Convergenza assoluta di una serie

La serie $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ a termini di segno qualunque si dice assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti $\sum_{n = 1}^{\infty}|a_n|$ è convergente.

La convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche convergenza semplice.

Occorre sottolineare che non tutte le serie che convergono semplicemente convergono anche assolutamente; se ciò non accade, si dice che la serie è condizionatamente convergente. Ad esempio, la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac 1n$

converge semplicemente (a ln 2), ma non converge assolutamente, dato che la serie ad essa associata è quella armonica.

Convergenza incondizionata

Data una serie, possiamo pensare di cambiare l'ordine dei suoi addendi; ci si accorge che, mentre una somma finita gode notoriamente della proprietà commutativa, questo non è vero in generale per una serie infinita di addendi. Per esempio, una serie i cui termini pari siano -1 e quelli dispari 1 è oscillante, ma se disordiniamo gli addendi in modo da porre prima dieci 1, poi un -1, poi altri cento 1, poi un -1, ... poi 10^k 1, poi un -1 ecc., la serie risultante è chiaramente divergente, perché supera qualunque numero M definitivamente.

Data una qualunque funzione biunivoca $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, si definisce una permutazione (o riarrangiamento, o permutata) della serie

$\sum{a_n}$

ogni oggetto della forma

$\sum{a_{\sigma(n)}}$

Ora, se la serie originaria converge, si dice che essa è incondizionatamente convergente se tutte le sue serie permutate convergono.

Un notevole teorema (dimostrato da Riemann) ci dice che:

• Una serie è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente; in questo caso, ogni permutata della serie originaria (e la serie stessa) convergono alla medesima somma;
• Se una serie è convergente, ma non assolutamente convergente, allora per ogni $\alpha, \beta \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}, \alpha \leq \beta$, esiste una permutazione $\sigma:\N\longrightarrow\N$ tale che $\liminf_{n \rightarrow \infty} {\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)}} = \alpha$ e $\limsup_{n \rightarrow \infty} {\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)}} = \beta$. In particolare, se si sceglie α = β, la serie permutata converge a tale limite (o diverge se tale numero è infinito).

Criteri di convergenza

Per determinare il carattere di una serie numerica (convergente, divergente, assolutamente convergente, oscillante) sono stati sviluppati diversi criteri di convergenza che legano la convergenza della serie allo studio del limite di successioni associate alla serie.

Serie di funzioni

Per approfondire, vedi la voce Serie di funzioni.

Le serie di funzioni sono del tutto analoghe alle serie numeriche, ma il termine generale è una funzione e non un numero.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$

Fissato un numero x₀ la serie di funzioni diventa una serie numerica. Si definisce dominio di convergenza della serie l'insieme dei valori di x per cui la serie converge.

Serie di potenze

Per approfondire, vedi la voce Serie di potenze.

Le serie di potenze sono delle particolari serie di funzioni, quelle della forma:

$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x - c)^n$

dove c è detto il centro della serie. Si può dimostrare che per ogni serie di potenze esiste un numero r con 0 ≤ r ≤ ∞ tale che la serie converge quando |x − c| < r e diverge quando |x − c| > r. Questo numero r è chiamato raggio di convergenza della serie di potenze. Esistono alcuni criteri che facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

La serie geometrica è una serie di potenze, con raggio di convergenza uguale a 1.

Tra le serie di potenze si annoverano le serie di Taylor e di Maclaurin.

Stima di somme

Data una funzione $f: N \to \R^+$, l'espressione $\sum_{k=0}^n f(k)$ rappresenta la somma:

$\sum_{k=0}^n f(k) = f(0) + f(1) + ... + f(n)$

Essa definisce chiaramente una funzione $S: \N \to \R^+$ che associa ad ogni $n \in \N$ il valore $S(n) = \sum_{k=0}^n f(k)$.

Dall'analisi degli algoritmi si utilizza sovente la valutazione di somme di questo tipo, ad esempio nello studio in un'istruzione del tipo

for i = 0 to n do C(i)

per un comando C qualsiasi si ottiene la somma

$\sum_{k=0}^{n-1} c(k)$

dove c(k) è il tempo di calcolo del comando C quando la variabile i assume il valore k.

L'ordine di grandezza di una somma può essere dedotto dall'ordine di grandezza dei suoi addendi.

Stima asintotica

Siano f e g due funzioni definite su $\N$ a valori in $\R^+$ e siano F e G le loro funzioni somma, cioè

$F(n) = \sum_{k=0}^n f(k) \ \ G(n) = \sum_{k=0}^n g(k) \ \forall n \in N.$

Allora f(n) = θ(g(n)) implica F(n) = θ(G(n)).

In altre parole, si può ricondurre lo studio asintotico di F e G sapendo che la relazione esistente tra le loro funzioni f(n) e g(n) sono f(n) = θ(g(n)), allora otteniamo che F(n) = θ(G(n)).

Nota: Il simbolo θ viene usato per indicare che due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza a meno di costanti moltiplicative.

Dimostrazione

La proprietà è una semplice conseguenza della definizione di θ. Infatti per l'ipotesi esistono due costanti positivie c, d tali che $c g(k) \leq d g(k)$ per ogni k abbastanza grande. Sostituendo questi valori nelle rispettive sommatorie otteniamo:

$C \sum_{k = 0}^n g(k) \leq \sum_{k=0}^n f(k) \leq D \sum_{k = 0}^n g(k)$

per due costanti C,D fissate e ogni n sufficientemente grande.

Esempio

Vogliamo valutare l'ordine di grandezza della somma

$\sum_{k=1}^n k \log \left(1 + {1 \over k}\right)$

Poiché $k \log \left(1 + {1 \over k}\right) = \theta (1)$ applicando la proposizione precedente otteniamo

$\sum_{k=1}^n k \log \left(1 + {1 \over k}\right) \geq \theta \left(\sum_{k=0}^n 1 \right) = \theta (1)$

Voci correlate

• Criteri di convergenza
• Lista delle serie matematiche
• Serie armonica
• Serie di Mengoli
• Serie di potenze
• Serie formale di potenze
• Serie di Taylor
• Serie esponenziale
• Serie geometrica
• Serie telescopica
• Sommatoria
• Teorema di Riemann-Dini
• Théorie analytique de la Chaleur

Bibliografia

• M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare (Bologna, Zanichelli, 2000)
• (FR) E. Catalan Traité élémentaire des séries (Paris, Leiber et Faraguet, 1860)
• (EN) T. J. A. Bromwich An introduction to the theory of infinite series (London, Macmillan, 1908)
• (DE) Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (Berlin, J. Springer, 1922)

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Collegamenti esterni

• Achille, la tartaruga e la nascita delle serie

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