Residuo (analisi complessa)

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In analisi complessa, il residuo è un numero complesso che descrive il comportamento degli integrali di linea di una funzione olomorfa intorno ad una singolarità isolata.

I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di calcolare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune derivate, tramite il teorema dei residui.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia \Omega un aperto del piano complesso \mathbb{C}, e z_0 un punto di \Omega . Sia

f:\Omega\setminus\{z_0\}\to\mathbb C

una funzione olomorfa che in z_0 ha una singolarità isolata e quindi un unico sviluppo locale in serie di Laurent

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.

Il residuo di  f in z_0 è l'integrale di  f lungo la circonferenza \gamma_r = \left \{ z: | z-z_0 | = r \right \} diviso per 2 \pi i:

\operatorname{Res}(f,z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma_r} f(z)\,dz

dove il raggio r è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di  f in z_0 è il coefficiente a_{-1} della serie di Laurent, e viene indicato con

\operatorname{Res}_{z_0} f(z) = a_{-1}.

Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.

Integrali di linea[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema dei residui.

Il residuo è importante perché determina l'integrale di  f lungo una curva chiusa che abbia indice di avvolgimento uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva

\gamma (t) = z_0 + re^{2\pi it}\,\!

definita su [0,1] , per  r sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in \Omega . Vale quindi

\operatorname{Res}_{z_0}f(z)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma}f(z)dz.

Infatti valgono le uguaglianze

 \oint_{\gamma} f(z)dz = \oint_\gamma \sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n dz = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \oint_\gamma a_n(z-z_0)^n dz =\oint_\gamma a_{-1}(z-z_0)^{-1} dz = 2\pi i a_{-1}.

Tutti i termini diversi da n=-1 infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione  (z-z_0)^n ha una primitiva per ogni  n diverso da -1 , data da (z-z_0)^{n+1}/(n+1) . L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in  z_0=0 per comodità:

 \oint_\gamma \frac 1z dz = \int_0^1 \frac{1}{re^{2\pi i t}}re^{2\pi i t} \cdot 2\pi i dt = \int_0^1 2\pi i dt = 2\pi i.

Calcolo del residuo[modifica | modifica sorgente]

Il calcolo del residuo di una funzione  f(z) in un punto z_0 risulta particolarmente semplice nel caso in cui la singolarità isolata z_0 sia eliminabile o un polo. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se z_0 è un polo di ordine k il residuo è:

a_{-1} = \frac{1}{(k - 1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} [(z - z_0)^k \cdot f(z)]_{z = z_0}

e in particolare, se z_0 è un polo semplice (cioè se k = 1), allora il residuo è semplicemente:

a_{-1} = \lim_{z \to z_0} [(z - z_0) \cdot f(z)].

Infatti la serie di Laurent si scrive come

f(z) = \sum\limits_{n=-k}^\infty a_n (z-z_0)^n,

ove  k è l'ordine del polo. Ponendo

g(z) = (z-z_0)^k f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n-k}(z-z_0)^n ,

si ottiene una funzione analitica in z_0 con sviluppo di Taylor

g(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n .

Confrontando il coefficiente del termine di grado k-1 delle due serie per g (z), risulta quindi

\operatorname{Res}_{z_0} f(z) = a_{-1} = \frac {1} {(k-1)!} g^{(k-1)} (z_0).

Residuo all'infinito[modifica | modifica sorgente]

Una funzione olomorfa f:\Omega\to\mathbb C è definita in un intorno dell'infinito \Omega se esiste un R>0 tale che l'aperto \Omega contenga tutti gli z con modulo |z|>R. In questo caso, è definito il residuo all'infinito di f(z) come

\operatorname{Res}_{\infty}f(z)=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma}f(z)dz.

dove

\gamma (t) = R'e^{2\pi it}

è una curva qualsiasi con R'>R (il risultato non dipende da questa scelta).

In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come

\operatorname{Res}_{\infty}f(z)=-\mathop{\text{Res}}_{\omega=0} \frac{1}{\omega^2} f\left(\frac{1}{\omega}\right)

Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o trasformazione conforme) che manda la variabile z nella sua inversa \omega = z^{-1}. Segue allora che

\oint f(z)\text{d}z = - \oint_{\tilde\gamma}f\left(\frac{1}{\omega}\right)\text{d}\frac{1}{\omega} = \oint_{\tilde\gamma}\frac{1}{\omega^2}f\left(\frac{1}{\omega}\right)\text{d} \omega,

ove

\tilde\gamma (t) = \frac1{R'}e^{-2\pi it}.

Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il teorema dei residui, da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla sfera di Riemann fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Esempio 1[modifica | modifica sorgente]

Sia f:\mathbb{C}\backslash\left\{-1\right\}\rightarrow\mathbb{C}, f(z)=\frac{1}{1+z}.

Poiché f è olomorfa intorno a w, per ogni w\ne-1, lo sviluppo di Laurent di f in w è lo sviluppo di Taylor, dunque a_{-1}=0 e dunque \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,w)=0 se w\ne-1.

Lo sviluppo di Laurent di f in -1 è \frac{1}{1+z}=\frac{1}{z-(-1)} dunque a_{-1}=1 e allora \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,-1)=1.

Per w\ne0, considero la -\frac{1}{w^2}\frac{1}{1+\frac{1}{w}}=-\frac{1}{w}\frac{1}{1+w}=\frac{-1}{w}\,(1-w+w^2-w^3+\ldots) e dunque \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,\infty)=-1.

Esempio 2[modifica | modifica sorgente]

Sia f:\mathbb{C}\backslash\left\{-1\right\}\rightarrow\mathbb{C}, f(z)=\frac{z}{1+z}.

Mostrare che \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,z_0)=0 se z_0\ne-1,

\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,-1)=-1 e

\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,\infty)=1.

Poiché f(z)=\frac{z}{1+z} è olomorfa intorno a z_0, per ogni z_0\ne-1, lo sviluppo di Laurent di f in z_0 è lo sviluppo di Taylor, dunque a_{-1}=0 e dunque \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,z_0)=0 se z_0\ne-1, come nel caso precedente.

Lo sviluppo di Laurent di f in -1 è \frac{z}{1+z}=\frac{1+z-1}{1+z}=1-\frac{1}{1+z}=1+\frac{-1}{z-(-1)} dunque a_{-1}=-1 e allora \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,-1)=-1.

Per w\ne0, considero la -\frac{1}{w^2}\frac{\frac{1}{w}}{1+\frac{1}{w}}=-\frac{1}{w^2}\frac{1}{1+w}=\frac{-1}{w^2}\,(1-w+w^2-w^3+\ldots)=-\frac{1}{w^2}+\frac{1}{w}-1+w-\ldots e dunque \text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,\infty)=1.

Esempio 3[modifica | modifica sorgente]

Sia f:\mathbb{C}\backslash\left\{\pm i\right\}\rightarrow\mathbb{C}, f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}.

\text{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,i)=\lim_{z\rightarrow i}\frac{z-i}{z^2+1}=\lim_{z\rightarrow i}\frac{1}{z+i}=\frac{1}{2i}

perché z^2+1 ha grado 2 ma i due poli in \pm i hanno ciascuno molteplicità 1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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