Teorema dei residui

Il teorema dei residui in analisi complessa è un potente strumento per calcolare gli integrali di linea di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme aperto del piano complesso $\mathbb C$. Siano $z_1,\ldots,z_n$ punti di singolarità della funzione $\omega = f(z)$ in $\Omega$. Sia inoltre $\gamma$ una curva semplice chiusa in $\Omega\setminus\{z_1,\ldots,z_n\}$ tale che $\{z_1,\ldots,z_n\}$ sia contenuto nel sottoinsieme limitato di $\mathbb C$ delimitato da γ.

Se $f(z)$ è una funzione olomorfa su $\Omega \setminus\{z_1,\ldots,z_n\}$, allora l'integrale della funzione su $\gamma$ è dato dalla:

$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f)$

dove $\operatorname{Res}_{z_k}(f)$ denota il residuo di $f$ in $z_k$, e $I_{z_k}(\gamma)$ è l'indice di avvolgimento della curva $\gamma$ attorno a $z_k$.

L'indice di avvolgimento (o winding number) è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva $\gamma$ si avvolge attorno ad $z_k$; esso è positivo se $\gamma$ gira in senso antiorario attorno a $z_k$ e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione

Una semplice dimostrazione è quella di considerare il dominio all'interno della curva $\gamma, \gamma_k$ multiplamente connesso, dove $\gamma_k$ sono le curve che circondano i punti di singolarità $z_k$ percorsi ognuno con un certo verso prendiamolo positivo e quindi antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

$\oint_{\gamma} f(\xi) \, d\xi = \sum_{k=1}^{n} \oint_{\gamma_k} f(\xi) \, d\xi$

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo k-esimo, per cui:

$\oint_{\gamma} f(\xi) \, d\xi = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z_k}(f)$.

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui

Nel caso in cui $\Omega$ è il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

$f:\mathbb C\setminus\{z_1\ , z_2\ ,.....,z_k\}\to\mathbb C$

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti $z_1,\ldots,z_k,\infty$ è sempre zero. In altre parole:

$\sum\limits_{i=1}^k \operatorname{Res}_{z_i}f+\operatorname{Res}_{\infty}f=0$

dove $\operatorname{Res}_{\infty}f(z)$ è il residuo all'infinito di $f$.

Lemmi

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Residuo (analisi complessa)
• Formula integrale di Cauchy
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Lemma di Jordan

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