Teorema dei residui

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Il teorema dei residui in analisi complessa è uno strumento per calcolare gli integrali di linea di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega un insieme aperto del piano complesso \mathbb C . Siano z_1,\ldots,z_n punti di singolarità della funzione \omega = f(z) in \Omega. Sia inoltre \gamma una curva semplice chiusa in \Omega\setminus\{z_1,\dots,z_n\} tale che \{z_1,\dots,z_n\} sia contenuto nel sottoinsieme limitato di \mathbb C delimitato da \gamma .

Se f(z) è una funzione olomorfa su \Omega \setminus\{z_1,\dots,z_n\} , allora l'integrale della funzione su \gamma è dato dalla:

\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f)

dove \operatorname{Res}_{z_k}(f) denota il residuo di f in z_k , e I_{z_k}(\gamma) è l'indice di avvolgimento della curva \gamma attorno a z_k.

L'indice di avvolgimento (o winding number) è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva \gamma si avvolge attorno ad z_k; esso è positivo se \gamma gira in senso antiorario attorno a z_k e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il dominio all'interno della curva \gamma. Si considerino \gamma_k multiplamente connesso, dove \gamma_k sono le curve che circondano i punti di singolarità z_k percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

\oint_{\gamma} f(\xi) \, d\xi = \sum_{k=1}^{n} \oint_{\gamma_k} f(\xi) \, d\xi

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo k-esimo, per cui:

\oint_{\gamma} f(\xi) \, d\xi = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z_k}(f).

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui \Omega è il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

f:\mathbb C\setminus\{z_1\ , z_2\ ,.....,z_k\}\to\mathbb C

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti z_1,\ldots,z_k,\infty è sempre zero. In altre parole:

\sum\limits_{i=1}^k \operatorname{Res}_{z_i}f+\operatorname{Res}_{\infty}f=0

dove \operatorname{Res}_{\infty}f(z) è il residuo all'infinito di f.

Lemmi[modifica | modifica wikitesto]

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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