Integrale

In analisi matematica, l'integrale è un operatore che, nel caso di una funzione di una sola variabile, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo nel dominio. Si tratta dell'operazione inversa a quella di derivazione.

Cenni storici

L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 ed il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o del segmento di parabola, detto metodo di esaustione.

Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, e tra di essi figurano ad esempio Fermat (1636) e Nicolaus Mercator (1668).

Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprirono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite, e da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875 Gaston Darboux mostrò che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann.

Notazione

Il simbolo $\int$ che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVIII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa, in latino somma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.

Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa.

Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è piegato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è piegata verso sinistra.

Introduzione euristica

Il problema originario del calcolo integrale è quello di definire e calcolare l'area (con segno) della figura che ha per bordi un intervallo chiuso e limitato sull'asse delle ascisse, detto intervallo di integrazione, il grafico di una assegnata funzione, detta funzione integranda, ed i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione al grafico della funzione. Il numero reale che esprime tale area viene chiamato integrale della funzione esteso all'intervallo di integrazione.

Se il grafico della funzione è costituito da uno o più segmenti, la figura si può scomporre in rettangoli o trapezi, di cui si conoscono le aree: la somma algebrica di tali aree è l'integrale cercato.

Nel caso generale, questo calcolo può essere eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali assimilabili a rettangoli: calcolando l'area di ciascun rettangolo e sommando i risultati così ottenuti si può avere un'approssimazione del valore dell'area della figura. Suddividendo in strisce sempre più sottili si ottengano approssimazioni sempre migliori dell'integrale cercato.

A partire da una tale descrizione informale, è possibile costruire un modello rigoroso suddividendo un intervallo di integrazione $[a,b]$ in $n$ intervalli del tipo $[x_{s-1},x_{s}]$, con $s=1,2,...,n$, $x_{0}=a$ e $x_{n}=b$. Per ciascun intervallo si considera un punto $t_s$, la cui immagine è $f(t_{s})$, e si costruisce il rettangolino che ha per base l'intervallo $[x_{s-1},x_{s}]$ e per altezza $f(t_{s})$. L'area della figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è data dalla somma di Cauchy-Riemann:

$\sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \,\delta x_s := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})$

Se, al diminuire dell'ampiezza degli intervalli $\delta x_s$, i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero $i$, la funzione $f$ è integrabile sull'intervallo $[a,b]$ ed $i$ è il suo integrale.

Affinché il valore dell'integrale non dipenda dalla suddivisione degli intervalli utilizzata, si pone la condizione che la curva sia uniformemente continua all'interno del singolo intervallo in cui è stato suddiviso l'intervallo di integrazione. Ponendo $x_{s}-x_{s-1}=\delta x$, se vale la continuità uniforme si possono infatti considerare due punti $t_s$ e $t'_s$ interni all'intervallo $(x_{s-1},x_{s})$. Il numero di tali intervalli di ampiezza $\delta x$ è pari a:

$n = {{(b - a)} \over {\delta x}}$

e le altezze dei rettangoli relativi a $f(t_{s})$ ed $f(t'_{s})$ differiscono della quantità $\delta\! f(t_{s})$. Da ciò discende che, se si pone $\delta\! f(t)$ come la più grande delle quantità $|\delta\! f(t_{s})|$, la differenza di valutazione dell'area del generico rettangolo conseguente alla scelta del punto $t_s$ o del punto $t'_s$ è al massimo:

$\ \delta\! f(t) \,\delta x$

La differenza di valutazione della somma di $s$ rettangolini è quindi al massimo pari a:

$\ {\frac{(b - a)}{\delta x}} \delta\! f(t)\, \delta x= (b-a) \,\delta\! f(t)$

Tale discrepanza di valutazione diminuisce al tendere a zero dell'ampiezza del generico intervallo in cui è suddiviso $[a,b]$, e questo motiva la scelta di una funzione uniformemente continua.

Definizione

La prima definizione rigorosa ad essere stata formulata di integrale di una funzione su un intervallo è l'integrale di Riemann, formulato da Bernhard Riemann.

L'integrale di Lebesgue è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, e per mostrarne la relazione è necessario utilizzare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano $f$ e $g$ due funzioni continue a supporto compatto su $\Bbb{R}^1$. Si può definire la loro distanza nel seguente modo:

$d(f,g)= \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)-g(t)|dt$

Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno spazio metrico. Il completamento di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.

In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.

Integrale di Riemann

Per approfondire, vedi la voce Integrale di Riemann.

Sia $PC[a,b]$ l'insieme delle funzioni limitate e continue a tratti sull'intervallo $[a,b]$, e tali da essere continue da destra:

$\lim_{x\to y^+} f(x) = f(y)$

Si definisca la norma:

$\| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|$

Sia $(a, x_1, \dots ,x_{n-1},b)$ una partizione di $[a,b]$ e $\chi_i(x)$ la funzione indicatrice dell'i-esimo intervallo della partizione $[x_{i-1}, x_i]$.

L'insieme $S[a,b]$ delle possibili partizioni dell'intervallo $[a,b]$ costituisce uno spazio vettoriale normato, con norma data da:

$\| \sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x) \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |\sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x)| = \max_{i=1,\dots,n}|c_i| \qquad c_i \in \R$

L'insieme $S[a,b]$ è denso in $PC[a,b]$. Si definisce la trasformazione lineare limitata $I:S[a,b] \to \R$ nel seguente modo:

$I \left[ \sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x) \right] = \sum_{i=1}^n c_i (x_i - x_{i-1})$

Si dimostra che un operatore lineare limitato che mappa uno spazio vettoriale normato in uno spazio normato completo può essere sempre esteso in modo unico ad un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore $I \$ può quindi essere esteso ad un operatore $\hat I$ che mappa il completamento $\hat S[a,b]$ di $S[a,b] \$ in $\R$.

Si definisce integrale di Riemann l'operatore $\hat I: \hat S[a,b] \to \R$, e si indica con:

$\hat I(f):= \int_a^b f(x)dx$

Integrale di Lebesgue

Per approfondire, vedi la voce integrale di Lebesgue.

Sia $\mu$ una misura su una sigma-algebra X di sottoinsiemi di un insieme E. Ad esempio, E può essere un n-spazio euclideo Rⁿ o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, X la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di E e $\mu$ la misura di Lebesgue. Nella teoria matematica delle probabilità μ è una misura di probabilità su uno spazio di probabilità E.

Nella teoria di Lebesgue, gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione f è misurabile se la controimmagine di ogni intervallo $I \in X$. L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, ed in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni. I limiti superiore e inferiore:

$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

sono inoltre misurabili se la successione $\{f_k \}$ è costituita da funzioni misurabili.

Una funzione semplice $f$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili. Siano i numeri reali o complessi $a_1, \dots a_n$ i valori assunti dalla funzione semplice $s$ e sia:

$A_i = \{x : s(x) = a_i \} \$

Allora:

$s(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x)$

dove ${\mathbf 1}_{A_k}(x)$ è la funzione indicatrice relativa all'insieme $A_i$ per ogni i.

L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:

$\int_F s d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu (A_i \cap F) \quad F \in X$

Sia f una funzione misurabile non negativa su E a valori sulla retta reale estesa. L'integrale di Lebesgue di f sull'insieme F rispetto alla misura $\mu$ è definito nel seguente modo:

$\int_F f\,d\mu := \sup \int_F s d \mu$

dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici s tali che $0 \le s \le f$. Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo $[0,\infty]$.

L'insieme delle funzioni tali che:

$\int_E |f| d\mu < \infty$

è detto insieme delle funzioni integrabili su E secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^1(\mu)$.

Anche l'integrale di Lebesgue è un funzionale lineare, e considerando una funzione definita su un intervallo $I$ il teorema di Riesz permette di affermare che per ogni funzionale lineare $\lambda$ su C è associata una misura di Borel finita $\mu$ su $I$ tale che:

$\lambda f = \int_I f\,d\mu$

In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.

Integrale in più variabili

Sia:

$x = (x_1, \dots ,x_k)$

un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:

$I^k = \{x:\quad a_i \le x_i \le b_i \quad 1 \le i \le k \}$

è detto k-cella. Sia $f_k$ definita su $I^k$ una funzione continua a valori reali, e si definisca:

$f_{k-1}(x_1, \dots ,x_{k-1}) = \int_{a_k}^{b_k} f_{k}(x_1, \dots ,x_k)d x_k$

Tale funzione è definita su $I^{k-1}$ ed è a sua volta continua a causa della continuità di $f_k$. Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni $f_j$ continue su $I^j$ che sono il risultato dell'integrale di $f_{j+1}$ rispetto alla variabile $x_{j+1}$ sull'intervallo $[a_{j+1},b_{j+1}]$. Dopo k volte si ottiene il numero:

$f_0 = \int_{a_1}^{b_1} f_1(x_1)d x_1$

Si tratta dell'integrale di $f_k(x)$ su $I^k$ rispetto a $x$, e non dipende dall'ordine con il quale vengono eseguite le k integrazioni.

In particolare, sia $g(x) = f_1(x_1) \dots f_k(x_k)$. Allora si ha:

$\int_{I^k} g(x)dx = \prod_{i=1}^{k} \int_{a_i}^{b_i} f_i(x_i)dx_i$

Inoltre, sia $f$ una funzione a supporto compatto e si ponga che $I^k$ contenga il supporto di $f$. Allora è possibile scrivere:

$\int_{I^k} f = \int_{\R^k} f$

Nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione a funzioni di carattere più generale.

Una proprietà di notevole importanza dell'integrale di una funzione in più variabili è la seguente. Siano:

• $T:E\subset \R^k \to \R^k$ una funzione iniettiva di classe $C^1$ definita su un aperto $E$ e tale che la sua matrice jacobiana $J_T(x)$ sia diversa da 0 ovunque in $E$.

• $f$ una funzione a supporto compatto continua definita su $\R^k$ e tale che $T(E)$ contenga il supporto di $f$.

Allora si ha:

$\int_{\R^k} f(y)dy = \int_{\R^k} f(T(x))|J_T(x)|dx$

L'integrando $f(T(x))|J_T(x)|$ ha un supporto compatto grazie all'invertibilità di $T$, dovuta all'ipotesi $J_T(x) \ne 0$ per ogni $x \in E$ che garantisce la continuità di $T^{-1}$ in $T(E)$ per il teorema della funzione inversa.

Continuità e integrabilità

Una condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità è che una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato sia continua. Una funzione continua definita su un compatto, e quindi continua uniformemente per il teorema di Heine-Cantor, è dunque integrabile.

Per provare ciò si suddivide l'intervallo $\ [a,b]$ in $n$ sottointervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$ di uguale ampiezza:

$\delta x = {{(b - a)} \over {n}}$

Si sceglie in ogni intervallo un punto $\ t_{i}$ interno a $\ [x_{i-1},x_{i}]$ e si definisce la somma integrale:

$\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \,\delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

Ponendo $\ M_i$ ed $\ m_i$ il massimo ed il minimo di $\ f$ in ogni intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ si costruiscono quindi le somme:

$\ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

$\ s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

All'aumentare di $n$, $\ S_{n}$ diminuisce mentre $\ s_{n}$ cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:

$\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i} \$

Si ha che:

$\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n} \$

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta $\ s_{n} \to s$ ed $\ S_{n} \to S$, con $\ s \le S$. All'affinarsi della partizione di $\ [a,b]$ risulta $\ s = S$, infatti è possibile fissare un $\ \epsilon$ piccolo a piacere ed un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:

$\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< \epsilon$

poiché per la continuità uniforme di $f$ si ha:

$\ M_{i}-m_{i} < {{ \epsilon} \over {(b-a)}}$

Ovvero, per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato:

$\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< {{ \epsilon} \over {(b-a)}} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = \epsilon$

Per il teorema del confronto delle successioni si ha:

$\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \epsilon$

ovvero:

$\ S-s \le \epsilon$

da cui, data l'arbitrarietà del fattore $\epsilon$, risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:

$\ S=s=I$

In definitiva, essendo:

$\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}$

per il teorema del confronto risulta $\ \sigma_{n} \to I$, da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto $\ [a,b]$ allora l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$, ovvero la funzione è integrabile.

Assoluta integrabilità

Una funzione $f$ si dice assolutamente integrabile su un intervallo aperto del tipo $[a,+\infty)$ se su tale intervallo è integrabile $\left|f\right|$.

Esiste un teorema che garantisce che una funzione $f$ assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$. Per il teorema sull'esistenza degli integrali impropri all'infinito, infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché $\int_{a}^{+\infty}\!f(x) \,\mathrm{d}x$ esista finito è che $\forall \epsilon>0$ esista $\gamma >0$ tale che per ogni $x_1,x_2 <\gamma$ si abbia:

$\left| \int_{x_1}^{x_2}f(x) \,\mathrm{d}x\right | <\epsilon$

Sostituendo in quest'ultima espressione $f(x)$ con $|f(x)|$ la condizione di esistenza diventa:

$\left| \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x) \,\mathrm{d}x \right | \right |<\epsilon$

Per le proprietà del valore assoluto per gli integrali si ha:

$\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x$

e quindi si può scrivere:

$\int_{x_1}^{x_2} \left | f(x)\,\mathrm{d}x\right |<\epsilon$

Da cui si ricava che $f(x)$ è integrabile. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è $\frac {\sin x}{x}$.

Proprietà degli integrali

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Linearità dell'integrale

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Allora:

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x$

Infatti, dalla definizione si ha che

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} \,[\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})]$

da cui

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})]$

dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})$

da cui discende la proprietà di linearità

Additività

Sia f continua e definita in un intervallo $[a, b]$ e sia $c \in [a, b]$. Allora:

$\int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^c \!f(x) \,\mathrm{d}x + \int_c^b \!f(x) \,\mathrm{d}x$

Infatti, dalla definizione si ha che

$\ \int^{b}_{a} \!f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

da cui se si ha $\ c \in [a,b]$ esistono un valore $\ h$ ed un valore $\ k$ la cui somma è $\ n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti

$\ {\frac{b-c}{h}} = {\frac{c-a}{k}} = \delta x$

$\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \left( \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s}) \right)$

da cui distribuendo la misura dell'intervallo

$\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {\frac{b-a}{n}} \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})$

In cui $\ n-k=h$ e, considerando l'intervallo $\ [c,b]$, l'indice $\ s=h+1,...,n$ può essere riscritto come $\ s=1,...,k$ in quanto $\ t_{h+1}$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $\ [c,b]$. Risulta allora ( ricordando che $\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x$)

$\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{h \to + \infty} {{c-a} \over {h}} \sum_{s=1}^{h} f(t_{s}) + \lim_{k \to + \infty} {{b-c} \over {k}} \sum_{s=1}^{k} f\left(t(s)\right)$

da cui discende la proprietà di additività

Monotonia (o teorema del confronto)

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e tali che $f(x) \le g(x)$ in $[a, b]$. Allora:

$\int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x$

Infatti, se si ha che $f(x) \le g(x)$ nel compatto $\ [a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto ovviamente la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ si ottiene

$\ {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le {{b-a} \over {n}} g(t_{s})\$ per ogni $\ t_{s}$.

A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente

$\ \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

$\ \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali

Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del Confronto. Sia f integrabile in un intervallo [a, b], allora si ha:

$\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x$

Infatti, essendo valida la relazione $- | f(t_{s}) | \le f(t_{s}) \le | f(t_{s}) |$ per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

$- \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |$.

Moltiplicando ogni membro per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ ed applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali

$- \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |$.

$- \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x$

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

$\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media

Per approfondire, vedi le voci Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se $f:[a,b]\to \mathbb R\!$ è continua allora esiste $c \in (a,b)\!$ tale che:

${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x=f(c)\!$

Calcolo differenziale e calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, grazie agli studi ed alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale.

Funzione Integrale

Sia $f:I\to \mathbb R$ una funzione definita su un intervallo $I = [a,b]$. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $J$ contenuto in $I$, al variare dell'intervallo $J$ varia il valore dell'integrale. Si ponga $J = [x_0,x]$, dove $x_0$ è fissato e che l'altro estremo $x$ è variabile: l'integrale di $f$ su $J$ diventa allora una funzione di $x$. Tale funzione si dice funzione integrale di $f$ o integrale di Torricelli, e si indica con:

$F(x) = \int_{x_0}^{x} \!f(t) \,\mathrm{d}t$

La variabile di integrazione $t$ è detta variabile muta, e varia tra $x_0$ e $x$.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Per approfondire, vedi la voce Teorema fondamentale del calcolo integrale.

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, e garantisce l'esistenza della primitiva per funzioni continue. La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

Sia $f\colon [a,b]\to\mathbb R$ una funzione integrabile. Si definisce la funzione $F$ nel seguente modo:

$F(x)=\int_a^x f(t)dt \qquad a \le x \le b$

La prima parte del teorema afferma che $F$ è una funzione continua in $[a,b]$. Se inoltre $f$ è una funzione continua, allora $F$ è differenziabile in $(a,b)$ e si ha:

$F^\prime(x)=f(x)$

Più precisamente, se $f$ è continua in un punto allora $F$ è differenziabile in tal punto, e vale la precedente relazione.

La seconda parte del teorema non assume la continuità di $f\colon [a,b]\to\mathbb R$, una funzione che ammette una primitiva $F$ su $[a,b]$. Se $f$ è integrabile si ha:

$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Infinite Primitive

Nel caso in cui si ha:

$F'(X) = f(x) \$

allora:

$D(F(X) + c) = f(x) \$

dove $c$ è una qualunque costante in $\mathbb{R}$. Quindi, se una funzione $f(x)$ ammette primitiva $F(x)$ allora esiste un'intera classe di primitive del tipo $G(x)=F(x)+c$. Viceversa, tutte le primitive di $f(x)$ sono della forma $F(x)+c$.

Infatti, siano $F(x)$ e $G(x)$ due primitive di $f(x)$ e si consideri la funzione $H(x) = F(x) - G(x)$. La derivata prima di $H(x)$ è data da:

$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0,\ \forall x \in [a,b]$

Quindi $H(x)$ si mantiene costante su tutto l'intervallo $[a,b]$, e ciò implica che:

$H(x) = c \$

La condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva è data dal fatto che se $f(x)$ è continua in $[a,b]$, allora ammette una (e dunque infinite) primitive per il primo teorema fondamentale del calcolo integrale.

Integrale improprio

Per approfondire, vedi la voce Integrale improprio.

Un integrale improprio è un limite della forma:

$\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x$

oppure:

$\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x \quad \lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x$

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Integrale indefinito

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione.

La totalità delle primitive di una funzione $f(x)$ si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

$\int \!f(x) \,\mathrm{d}x \$

denota l'integrale indefinito della funzione $f(x)$ in $\mathrm{d}x$. La funzione $f(x)$ è detta anche in questo caso funzione integranda.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se $f$ è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva $\ F$ allora l'integrale indefinito di $f$ è:

$\ \int \!f(x) \,\mathrm{d}x= F(x)+c$

dove $\ c$ è una generica costante reale.

Metodi di integrazione

Per approfondire, vedi la voce Metodi di integrazione.

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota $\Phi$. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la semplificazione della funzione integranda vi sono le seguenti due:

• Se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di due integrali, di cui uno calcolabile immediatamente grazie alla formula fondamentale del calcolo integrale.
• Se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di proporzionalità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia $f: \R \to \R^+$ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni $a \in \N$ e ogni intero $n \geq a$ si ha:

$f(a) + \int_{a}^{n} \!f(x) \,\mathrm{d}x \leq \sum_{k =a}^n \!f(k) \leq \int_{a}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x + f(n)$

Infatti, se $n = a$ la proprietà è banale, mentre se $n \,>\, a$ si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di $\R^+$, e che per ogni $k \in \N$ vale la relazione:

$f(k)\leq \int_{k}^{k+1} f(x) \,\mathrm{d}x \leq f(k+1)$

Sommando per $k = a, a+1, ... n-1$ si ottiene dalla prima disuguaglianza:

$\sum_{k=a}^{n-1} f(k) \leq \sum_{k=a}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{n} f(x)\,\mathrm{d}x$

mentre dalla seconda segue che:

$\int_{a}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{k=a}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x \leq \sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)$

Aggiungendo ora $f(a)$ e $f(n)$ alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, per diversi scopi. I tre qui nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico ad essere definito è stato l'integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione, con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock (e indipendentemente, Jaroslaw Kurzweil) ha dato una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge, che sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Ito

L'integrale di Ito fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici.
In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni: una di queste è sicuramente: $\int_{0}^{T}X_{s} \,\mathrm{d}W_{s}$ dove $W_{s}$ è il processo di Wiener. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto, il processo di Wiener ha variazione totale infinita, in particolare gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. Pertanto si cerca in questa pubblicazione di definire formalmente l'integrale di Itô (o integrale stocastico).
L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti, appunto, integrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (moto aleatorio delle particelle, prezzo delle azioni nei mercati finanziari ecc.) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale

• In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione.

Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza $\ f(x)=mx$ attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula

$\ \int mx^{\alpha} \,\mathrm{d}x= {{mx^{ \alpha + 1}} \over { \alpha + 1}} + c$

la cui derivata coincide proprio con $\ mx^{\alpha}$.

Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione $\ f(x)=mx$ ed integrandola si ottiene

$\ \int mx \,\mathrm{d}x= {{mx^{2}} \over {2}} + c$

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto $\ [a,b]$ si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

$\ \int_{a}^{b} mx \,\mathrm{d}x= \left[{{mb^{2}} \over {2}} + c\right] - \left[{{ma^{2}} \over {2}} + c\right] = m {{b^2-a^2} \over {2}}$

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

• Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali ed orientate delle ascisse e delle ordinate. Supponiamo ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è $\ f(x)=mx$. Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto $\ [a,b]$ situato sull'asse delle ascisse.

Supponiamo per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.

Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto $\ [a,b]$ è pari all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza pari a $\ b-a$, base maggiore $\ mb$ e base minore $\ ma$. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula $\ {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)$, ovvero $\ m{{b^2-a^2} \over {2}}$.

Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto $\ [a,b]$ effettuiamo una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali

$\ x_{0}=a; \quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}}; \quad x_{2}= a+2{{b-a} \over {n}};\quad ...\,; \quad x_{n}= a+n{{b-a} \over {n}}=b$

Nel generico intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ scegliamo come punto arbitrario il punto più esterno $\ x_{i}$ (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione $\ y=mx$ nel generico punto $\ x_{i}$ interno all'intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$.

Si avrà quindi $\ f(x_{i})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]$, e la somma integrale di Riemann diventa

$\ \sigma_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} \over {n}} =m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^2 \sum_{i=1}^{n}i$

nella quale la progressione aritmetica $\ \sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} \over {2}}$ restituisce un'espressione delle somme di Riemann pari a

$\ \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} \over {2n}}$

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

$\ \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 \lim_{n \to + \infty} {{n+1} \over {2n}}$

Calcolando il limite per $\ n \to \infty$, dato che $\ {{n+1} \over {2n}} \to \ {{1} \over {2}}$, s'ottiene

$\ \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+{{m(b-a)^2} \over {2}}$

dalla quale, eseguendo la somma si ricava

$\ \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = m{{b^2-a^2} \over {2}}$

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta $\ y=mx$ sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Derivata
• Funzione sommabile
• Integrale di Riemann
• Integrale di Lebesgue
• Integrale sui cammini
• Metodi di integrazione
• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Primitiva (matematica)

Tavole di integrali

• Integrali più comuni
• Integrali definiti

Integrali indefiniti

• di funzioni razionali
• di funzioni irrazionali
• di funzioni trigonometriche
• di funzioni iperboliche
• di funzioni esponenziali
• di funzioni logaritmiche
• di funzioni d'arco
• di funzioni d'area

Altre tipologie di integrali

• Integrale multiplo
  • Integrale doppio
  • Integrale triplo
• Integrale di linea
• Integrale di superficie
• Integrale funzionale

Collegamenti esterni

• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)
• Marshall Evans Munroe, Misura e integrazione, da Enciclopedia del Novecento, Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
• Integrale, Enciclopedia on line Treccani

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