Integrale

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Integrale di f(x).
Area sottesa dal grafico dalla funzione f(x) nel dominio [a,b].
Si assume che l'area abbia valore negativo quando f(x) è negativa.

In analisi matematica, l'integrale è un operatore che, nel caso di una funzione di una sola variabile, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo [a,b] nel dominio.

Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale si dimostra che l'integrale da a a x della funzione f corrisponde esattamente ad una primitiva di f(x).

L'integrazione risulta quindi l'operazione inversa a quella di derivazione.

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

L'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione.

Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, e tra di essi figurano ad esempio Fermat (1636) e Nicolaus Mercator (1668).

Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprirono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite, e da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875 Gaston Darboux mostrò che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

Il simbolo \int che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa (ſumma), in latino somma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.

Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa.

Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è piegato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è piegata verso sinistra.

Introduzione euristica[modifica | modifica sorgente]

Si consideri una funzione f:x \to f(x) reale di variabile reale definita su un intervallo chiuso e limitato dell'asse x delle ascisse. Quando si procede a calcolare l'integrale di f in un intervallo, f è detta funzione integranda e l'intervallo è detto intervallo di integrazione. Il valore dell'integrale della funzione calcolato nell'intervallo di integrazione è pari all'area (con segno) della figura che ha per bordi il grafico di f, l'asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione. Il numero reale che esprime tale area viene chiamato integrale della funzione esteso all'intervallo di integrazione. Con il termine "integrale" o "operatore integrale" si indica anche l'operazione stessa che associa l'area alla funzione.

Sono stati ideati diversi modi per calcolare in modo rigoroso il valore dell'integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l'insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale. Un metodo è quello di "approssimare" il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l'area: la somma algebrica delle aree di tutti i trapezi è allora l'integrale cercato. Un tale approccio è utilizzato per definire l'integrale di Riemann, in cui il calcolo dell'area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali assimilabili a rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione  [a,b] in n intervalli del tipo [x_{s-1},x_{s}], con  s=1,2,\dots,n, x_{0}=a e x_{n}=b, per ciascun intervallo si può considerare un punto t_s la cui immagine è  f(t_{s}). Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l'intervallo [x_{s-1},x_{s}] e per altezza  f(t_{s}). L'area della figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è data dalla somma di Cauchy-Riemann:

 \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \,\delta x_s := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})

Se al diminuire dell'ampiezza degli intervalli  \delta x_s i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero  i , la funzione  f è integrabile sull'intervallo  [a,b] e  i è il valore del suo integrale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale di una funzione su un intervallo è l'integrale di Riemann, formulato da Bernhard Riemann.

L'integrale di Lebesgue è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, e per mostrarne la relazione è necessario utilizzare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano f e g due funzioni continue a supporto compatto su \Bbb{R}^1. Si può definire la loro distanza nel seguente modo:[1]

 d(f,g)= \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)-g(t)|dt

Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno spazio metrico. Il completamento di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.[2][3]

In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.

Integrale di Riemann[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale di Riemann.

Sia PC[a,b] l'insieme delle funzioni limitate e continue a tratti sull'intervallo [a,b], e tali da essere continue da destra:

\lim_{x\to y^+} f(x) = f(y)

La norma di tali funzioni può essere definita come:

\| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|

Sia (a, x_1, \dots ,x_{n-1},b) una partizione di [a,b] e \chi_i(x) la funzione indicatrice dell'i-esimo intervallo della partizione [x_{i-1}, x_i].

L'insieme S[a,b] delle possibili partizioni dell'intervallo [a,b] costituisce uno spazio vettoriale normato, con norma data da:

\| \sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x) \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |\sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x)| = \max_{i=1,\dots,n}|c_i| \qquad c_i \in \R

L'insieme S[a,b] è denso in PC[a,b]. Si definisce la trasformazione lineare limitata I:S[a,b] \to \R nel seguente modo:[4]

I \left[ \sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x) \right] = \sum_{i=1}^n c_i (x_i - x_{i-1})

Si dimostra che un operatore lineare limitato che mappa uno spazio vettoriale normato in uno spazio normato completo può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore I \ può quindi essere esteso a un operatore \hat I che mappa il completamento \hat S[a,b] di S[a,b] \ in \R.

Si definisce integrale di Riemann l'operatore \hat I: \hat S[a,b] \to \R , e si indica con:[5]

\hat I(f):= \int_a^b f(x)dx

Integrale di Lebesgue[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi integrale di Lebesgue.

Sia \mu una misura su una sigma-algebra X di sottoinsiemi di un insieme E. Ad esempio, E può essere un n-spazio euclideo \R^n o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, X la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di E e \mu la misura di Lebesgue.

Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione f è misurabile se la controimmagine di ogni insieme aperto I del codominio è in X, ossia se f^{-1}(I) è un insieme misurabile di X per ogni aperto I.[6] L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.

Una funzione semplice s è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.[7] Siano i numeri reali o complessi a_1, \dots a_n i valori assunti dalla funzione semplice s e sia:

A_i = \{x : s(x) = a_i \} \

Allora:[7]

s(x)=\sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}(x)

dove \chi_{A_k}(x) è la funzione indicatrice relativa all'insieme A_i per ogni i.

L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:

\int_F s \,d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu (A_i \cap F) \quad F \in X

Sia f una funzione misurabile non negativa su E a valori sulla retta reale estesa. L'integrale di Lebesgue di f sull'insieme F rispetto alla misura \mu è definito nel seguente modo:[8]

\int_F f\,d\mu := \sup \int_F s d \mu

dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici s tali che 0 \le s \le f. Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo [0,\infty].

L'insieme delle funzioni tali che:

\int_E |f| d\mu < \infty

è detto insieme delle funzioni integrabili su E secondo Lebesgue rispetto alla misura \mu, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con L^1(\mu).

Anche l'integrale di Lebesgue è un funzionale lineare, e considerando una funzione definita su un intervallo I il teorema di Riesz permette di affermare che per ogni funzionale lineare \lambda su \C è associata una misura di Borel finita \mu su I tale che:[9]

\lambda f = \int_I f\,d\mu

In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.

Integrale in più variabili[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale multiplo.

Sia x = (x_1, \dots ,x_k) un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:

I^k = \{x:\quad a_i \le x_i \le b_i \quad 1 \le i \le k \}

è detto k-cella. Sia f_k definita su I^k una funzione continua a valori reali, e si definisca:

f_{k-1}(x_1, \dots ,x_{k-1}) = \int_{a_k}^{b_k} f_{k}(x_1, \dots ,x_k)d x_k

Tale funzione è definita su I^{k-1} ed è a sua volta continua a causa della continuità di f_k. Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni f_j continue su I^j che sono il risultato dell'integrale di f_{j+1} rispetto alla variabile x_{j+1} sull'intervallo [a_{j+1},b_{j+1}]. Dopo k volte si ottiene il numero:

f_0 = \int_{a_1}^{b_1} f_1(x_1)d x_1

Si tratta dell'integrale di f_k(x) su I^k rispetto a x, e non dipende dall'ordine con il quale vengono eseguite le k integrazioni.

In particolare, sia g(x) = f_1(x_1) \dots f_k(x_k). Allora si ha:

\int_{I^k} g(x)dx = \prod_{i=1}^{k} \int_{a_i}^{b_i} f_i(x_i)dx_i

Inoltre, sia f una funzione a supporto compatto e si ponga che I^k contenga il supporto di f. Allora è possibile scrivere:

\int_{I^k} f = \int_{\R^k} f

Nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione ad insiemi di funzioni più ampi.

Una proprietà di notevole importanza dell'integrale di una funzione in più variabili è la seguente. Siano:

  • T:E\subset \R^k \to \R^k una funzione iniettiva di classe C^1 definita su un aperto E e tale che la sua matrice jacobiana J_T(x) sia diversa da 0 ovunque in E.

Allora si ha:

\int_{\R^k} f(y)dy = \int_{\R^k} f(T(x))|J_T(x)|dx

L'integrando f(T(x))|J_T(x)| ha un supporto compatto grazie all'invertibilità di T, dovuta all'ipotesi J_T(x) \ne 0 per ogni x \in E che garantisce la continuità di T^{-1} in T(E) per il teorema della funzione inversa.

Integrale curvilineo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale di linea e Integrale di superficie.

Dato un campo scalare  f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, si definisce l'integrale di linea (di prima specie) su una curva C, parametrizzata da \mathbf{r}(t), con t \in [a, b], come:[10]

\int_C f\ \operatorname ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t

dove il termine \mathrm{d}s indica che l'integrale è effettuato su un'ascissa curvilinea. Se il dominio della funzione f è \mathbb{R}, l'integrale curvilineo si riduce al comune integrale di Riemann valutato nell'intervallo [r(a),r(b)]. Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli integrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della curva di Lorenz.

Similmente, per un campo vettoriale \mathbf{F} : \R^n \to \R^n, l'integrale di linea (di seconda specie) lungo una curva C, parametrizzata da \mathbf{r}(t) con t \in [a, b], è definito da:[11]

\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t

Continuità e integrabilità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione integrabile.

Una condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità è che una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato sia continua: una funzione continua definita su un compatto, e quindi continua uniformemente per il teorema di Heine-Cantor, è integrabile.

Dimostrazione

Si suddivida l'intervallo \ [a,b] in n sottointervalli \ [x_{i-1},x_{i}] di uguale ampiezza:

\delta x = {{(b - a)} \over {n}}

Si scelga in ogni intervallo un punto \ t_{i} interno a \ [x_{i-1},x_{i}] e si definisce la somma integrale:

\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \,\delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

Ponendo \ M_i e \ m_i il massimo e il minimo di \ f in ogni intervallo \ [x_{i-1},x_{i}] si costruiscono quindi le somme:

\ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1}) \qquad \ s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})

All'aumentare di n, \ S_{n} diminuisce mentre \ s_{n} cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:

\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i} \

Si ha che:

\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n} \

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta \ s_{n} \to s e \ S_{n} \to S, con \ s \le S. All'affinarsi della partizione di \ [a,b] risulta \ s = S, infatti è possibile fissare un \ \varepsilon piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:

\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< \varepsilon

poiché per la continuità uniforme di f si ha:

\ M_{i}-m_{i} < {{ \varepsilon} \over {(b-a)}}

Ovvero, per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato:

\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< {{ \varepsilon} \over {(b-a)}} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = \varepsilon

Per il teorema del confronto delle successioni si ha:

\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \varepsilon

ovvero:

\ S-s \le \varepsilon

da cui, data l'arbitrarietà del fattore \varepsilon, risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:

\ S=s=I

In definitiva, essendo:

\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}
per il teorema del confronto risulta \ \sigma_{n} \to I , da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto \ [a,b] allora l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli \ [x_{i-1},x_{i}], ovvero la funzione è integrabile.

Assoluta integrabilità[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f si dice assolutamente integrabile su un intervallo aperto del tipo [a,+\infty) se su tale intervallo è integrabile \left|f\right|. Non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è \sin x / x. Viceversa, il teorema sull'esistenza degli integrali impropri all'infinito garantisce che una funzione f assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo [a,+\infty).

Dimostrazione

Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché  \int_{a}^{+\infty}\!f(x) \,\mathrm{d}x esista finito è che per ogni \varepsilon>0 esista  \gamma >0 tale che per ogni x_1,x_2 <\gamma si abbia:

\left| \int_{x_1}^{x_2}f(x) \,\mathrm{d}x\right | <\varepsilon

Sostituendo in quest'ultima espressione f(x) con |f(x)| la condizione di esistenza diventa:

  \left| \int_{x_1}^{x_2} \left |  f(x) \,\mathrm{d}x \right | \right |<\varepsilon

da cui si ha:

\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x

e quindi si può scrivere:

\int_{x_1}^{x_2} \left | f(x)\,\mathrm{d}x\right |<\varepsilon
Si ricava così che f(x) è integrabile.

Teorema di Vitali-Lebesgue[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio  \R^n che siano integrabili secondo Riemann. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue.

Data una funzione su \R^n che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di  \R^n , essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoi punti di discontinuità. Se si verifica questo, la funzione è anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Nel caso in cui n=1 l'enuciato assume la seguente forma: una funzione f limitata in un intervallo [a, b] è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue.[12]

Calcolo differenziale e calcolo integrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, grazie agli studi e alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale. Esso è generalizzato dal fondamentale teorema di Stokes.

Funzione Integrale[modifica | modifica sorgente]

Sia f:I\to \mathbb R una funzione definita su un intervallo I = [a,b]. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato J contenuto in I, al variare dell'intervallo J varia il valore dell'integrale. Si ponga J = [x_0,x], dove x_0 è fissato e l'altro estremo x è variabile: l'integrale di f su J diventa allora una funzione di x. Tale funzione si dice funzione integrale di f o integrale di Torricelli, e si indica con:

F(x) = \int_{x_0}^{x} \!f(t) \,\mathrm{d}t

La variabile di integrazione t è detta variabile muta, e varia tra x_0 e x.

Funzioni Primitive[modifica | modifica sorgente]

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Primitiva (matematica).

Nel caso in cui F sia una primitiva di f, cioè se

F'(x) = f(x)

allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

G(x)=F(x)+c

che differisca da F(x) per una costante arbitraria c,
risulta essere primitiva di f(x).
Infatti

G'(x)=F'(x)+0 =f(x).

Quindi, se una funzione f(x) ammette primitiva F(x) allora esiste un'intera classe di primitive del tipo G(x)=F(x)+c.
Viceversa, tutte le primitive di f(x) sono della forma F(x)+c.

Teorema fondamentale del calcolo integrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema fondamentale del calcolo integrale.

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

F(x)=\int_a^x f(t)dt \qquad a \le x \le b

è una primitiva della funzione di partenza. Cioè

F^\prime(x)=f(x)

La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Integrale indefinito[modifica | modifica sorgente]

La totalità delle primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

\int \!f(x) \,\mathrm{d}x \

denota l'integrale indefinito della funzione f(x) rispetto a x. La funzione f(x) è detta anche in questo caso funzione integranda.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se f è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva \ F allora l'integrale indefinito di f è:

\ \int \!f(x) \,\mathrm{d}x= F(x)+c

dove \ c è una generica costante reale.

Proprietà degli integrali[modifica | modifica sorgente]

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Linearità[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Allora:

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x
Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} \,[\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})]

da cui:

\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}}  [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})]

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})
da cui discende la proprietà di linearità.

Additività[modifica | modifica sorgente]

Sia f continua e definita in un intervallo [a, c] e sia b \in [a, c]. Allora:

\int_a^c \!f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x + \int_b^c \!f(x) \,\mathrm{d}x
Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\ \int^{b}_{a} \!f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

da cui se si ha \ c \in [a,b] esistono un valore \ h e un valore \ k la cui somma è \ n tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:

\ {\frac{b-c}{h}} = {\frac{c-a}{k}} = \delta x
\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \left( \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) +  \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s}) \right)

Distribuendo la misura dell'intervallo:

\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {\frac{b-a}{n}}  \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})

in cui \ n-k=h. Considerando l'intervallo \ [c,b], l'indice \ s=h+1,...,n può essere riscritto come \ s=1,...,k in quanto \ t_{h+1} è il valore superiore del primo intervallo della partizione di \ [c,b]. Ricordando che:

\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x

risulta allora:

\ \int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{h \to + \infty} {{c-a} \over {h}}  \sum_{s=1}^{h} f(t_{s}) + \lim_{k \to + \infty} {{b-c} \over {k}} \sum_{s=1}^{k} f\left(t(s)\right)
da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia (o teorema del confronto)[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e tali che f(x) \le g(x) in [a, b]. Allora:

\int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x
Dimostrazione

Infatti, se si verifica che f(x) \le g(x) nel compatto \ [a,b], effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore  b-a / n si ottiene:

 {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le {{b-a} \over {n}} g(t_{s})\

per ogni t_{s}. A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:

 \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata:

 \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})
Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto[modifica | modifica sorgente]

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se f è integrabile in un intervallo [a, b] si ha:

\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x
Dimostrazione

Infatti, essendo valida la relazione - | f(t_{s}) | \le f(t_{s}) \le | f(t_{s}) | per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

- \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |

Moltiplicando ogni membro per il fattore b-a / n e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

-  \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le  \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le  \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |
- \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come:

\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x
la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se f:[a,b]\to \mathbb R è continua allora esiste c \in (a,b) tale che:

{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x=f(c)

Integrale improprio[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale improprio.

Un integrale improprio è un limite della forma:

\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x

oppure:

\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x \quad
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Metodi di integrazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodi di integrazione.

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota \Phi. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la semplificazione della funzione integranda vi sono le seguenti due:

  • Se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di due integrali, di cui uno calcolabile immediatamente grazie alla formula fondamentale del calcolo integrale.
  • Se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di proporzionalità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale[modifica | modifica sorgente]

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia f: \R \to \R^+ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni  a \in \N e ogni intero  n \geq a si ha:

f(a) + \int_{a}^{n} \!f(x) \,\mathrm{d}x \leq \sum_{k =a}^n \!f(k) \leq \int_{a}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x + f(n)

Infatti, se n = a la proprietà è banale, mentre se n \,>\, a si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di \R^+, e che per ogni k \in \N vale la relazione:

f(k)\leq \int_{k}^{k+1} f(x) \,\mathrm{d}x \leq f(k+1)

Sommando per k = a, a+1, ... n-1 si ottiene dalla prima disuguaglianza:

\sum_{k=a}^{n-1} f(k) \leq \sum_{k=a}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{n} f(x)\,\mathrm{d}x

mentre dalla seconda segue che:

\int_{a}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{k=a}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x \leq \sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)

Aggiungendo ora f(a) e f(n) alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Altri operatori di integrazione[modifica | modifica sorgente]

Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes, che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale di Denjoy, Integrale di Perron e Integrale di Henstock.

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a Denjoy, Perron, Henstock e altri. I tre nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l'integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock e (indipendentemente) Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge: essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Ito[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale di Ito.

L'integrale di Ito fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici. In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

\int_{0}^{T}X_{s} \,\mathrm{d}W_{s}

dove W_{s} è il processo di Wiener. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha variazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti.

L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti integrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale[modifica | modifica sorgente]

  • In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione. Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza  f(x)=mx attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:
 \int mx^{\alpha} \,\mathrm{d}x= {{mx^{ \alpha + 1}} \over { \alpha + 1}} + c
la cui derivata coincide proprio con \ mx^{\alpha}. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione \ f(x)=mx e integrandola si ottiene:
 \int mx \,\mathrm{d}x= {{mx^{2}} \over {2}} + c
Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto \ [a,b] si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
 \int_{a}^{b} mx \,\mathrm{d}x= \left[{{mb^{2}} \over {2}} + c\right] - \left[{{ma^{2}} \over {2}} + c\right] = m {{b^2-a^2} \over {2}}
esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.
  • Si supponga di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è f(x)=mx. :Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto  [a,b] situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto [a,b] è pari all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza pari a  b-a, base maggiore  mb e base minore \ ma. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula  {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a), ovvero  m{{b^2-a^2} \over {2}}.
Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto \ [a,b] si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali:
\ x_{0}=a; \quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}}; \quad x_{2}= a+2{{b-a} \over {n}};\quad \dots \,; \quad x_{n}= a+n{{b-a} \over {n}}=b
Nel generico intervallo  [x_{i-1},x_{i}] si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno  x_{i} (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione \ y=mx nel generico punto  x_{i} interno all'intervallo  [x_{i-1},x_{i}]. Si avrà quindi  f(x_{i})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right], e la somma integrale di Riemann diventa:
\ \sigma_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} \over {n}} =m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^2 \sum_{i=1}^{n}i
nella quale la progressione aritmetica  \sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} \over {2}} restituisce un'espressione delle somme di Riemann pari a:
 \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} \over {2n}}
Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:
 \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} =  ma(b-a)+m(b-a)^2 \lim_{n \to + \infty} {{n+1} \over {2n}}
Calcolando il limite per \ n \to \infty , dato che \ {{n+1} \over {2n}} \to \ {{1} \over {2}}, si ottiene:
 \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} =  ma(b-a)+{{m(b-a)^2} \over {2}}
dalla quale, eseguendo la somma si ricava:
 \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = m{{b^2-a^2} \over {2}}
la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta \ y=mx sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 68
  2. ^ Si pone in tale contesto che due funzioni uguali quasi ovunque siano coincidenti.
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 69
  4. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 10
  5. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 11
  6. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 8
  7. ^ a b W. Rudin, op. cit., Pag. 15
  8. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 19
  9. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 34
  10. ^ L.D. Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral, 2012.
  11. ^ Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral, 2012.
  12. ^ Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Tavole di integrali[modifica | modifica sorgente]

Integrali indefiniti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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