Teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

Enunciato

Il teorema integrale di Cauchy afferma che:

Sia

$f:A\to\mathbb C$

una funzione olomorfa definita su un dominio $A$ semplicemente connesso. Per ogni curva chiusa e regolare a tratti

$\gamma:[0,1]\to A\,\!$

vale l'equazione

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = 0$

Dimostrazione

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di $f(z)$ è dato da:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]$

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \iint_{E} \left [- \frac {\partial v(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial u(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy + i \cdot \iint_{E} \left [ \frac {\partial u(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial v(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy = 0$;

dove E è la regione interna a $\gamma$. Infatti poiché $f(z)$ è analitica, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:

$\begin{matrix} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{matrix}$

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

$f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]$

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva $\gamma$ sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

Dimostrazione di Goursat

percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione precedente è la dimostrazione standard del Teorema di Cauchy, tuttavia se si sta attenti si nota che essa è valida solo se si richiede la continuità delle derivate parziali prime.

In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione data da Edouard Goursat non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il Teorema di Cauchy viene detto anche Teorema di Cauchy-Goursat.

Suddividiamo la regione all'interno del percorso $C$ in un reticolato come mostrato in figura. Risulta allora

$\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz$

Definiamo ora la funzione

$\delta _j \left( {z,z_j } \right) = \frac{{f\left( z \right) - f\left( {z_j } \right)}}{{z - z_j }} - \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j }$

dove $z_j$ è un punto della sottoregione j-esima.

Dato che $f(z)$ è analitica è sempre possibile, per un $\varepsilon$ arbitrario, ottenere

$\left| {\delta _j \left( {z,z_j } \right)} \right| < \varepsilon$

e poiché sono nulli i termini $\oint {dz = \oint {zdz = 0} }$, integrando si ottiene

$\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz = } \oint_{C_j } {\left( {z - z_j } \right)\delta _j \left( {z,z_j } \right)dz}$

e quindi si ottiene

$\left| {\sum\limits_j {\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz} } } \right| < A\varepsilon$

dove $A$ è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome $\varepsilon$ è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere così $\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz=0$

Corollari

Curve con gli stessi estremi

Sia

$f:A\to\mathbb C$

una funzione olomorfa definita su un dominio $A$ semplicemente connesso. Se $\gamma_1,\gamma_2$ sono due curve regolari a tratti in $A$ che congiungono due punti $P$ e $Q$, allora:

$\int_{\gamma_1} f(z) \ dz = \int_{\gamma_2}f(z) \ dz$

In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.

Dimostrazione

Sia $\gamma$ la curva chiusa ottenuta concatenando $\gamma_1$ e $\gamma_2$, quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:

$\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \left(\int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} \right) f(z) \ dz = 0$

ovvero

$\int_{\gamma_1} f(z)\ dz = \int_{\gamma_2} f(z)\ dz.$

Esistenza di una primitiva

Ogni funzione olomorfa

$f:A\to\mathbb C$

definita su un aperto semplicemente connesso $A$ ammette una primitiva $F$. Esiste cioè una funzione olomorfa

$F:A\to\mathbb C$

tale che $F'(z)=f(z)$ per ogni $z$ in $A$.

Dimostrazione

La funzione $F$ è definita nel modo seguente. Si fissa un punto $z_0$ di $A$ e si pone

$F(z):=\int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta$

per una qualsiasi curva regolare $\delta_z$ in $A$ che collega $z_0$ a $z$. Per il risultato precedente $F(z)$ non dipende dall'arco $\delta_z$ ed è quindi ben definita.

La funzione $F$ è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio $f$. Ciò può essere verificato nel modo seguente:

$\lim_{h\to 0} \frac {F(z+h)-F(z)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac 1h\left(\int_{\delta_{z+h}}f(\zeta)d\zeta - \int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta\right)$

Prendendo come $\delta_{z+h}$ il concatenamento di una $\delta_z$ qualsiasi e di una piccola curva $\gamma_h$ che congiunge $z$ e $z+h$, ciò è equivalente a

$\lim_{h\to 0} \frac 1h\int_{\gamma_h}f(\zeta)d\zeta = f(z).$

Generalizzazione del teorema di Cauchy

Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data $f(z)$ analitica in un dominio A (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata $\Gamma$ interna ad A ma che contiene tutte le zone disconnesse A' (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve $l_1, l_2, l_3$ unite alla curva $\Gamma$ da $d_1, d_2, d_3, d_4$. Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in viola). Allora:

$\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{i = 1}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz +$

$\sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz - \sum_{i = 0}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz = 0$

Poiché le curve $d_i$ vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve $l_i$ vengono percorse in senso inverso a $\Gamma$. Quindi:

$\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz = 0$

cioè:

$\oint_{\Gamma} f(z) \ dz = \sum_{i = 0}^{3} \oint_{l_i} f(z) \ dz$

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Integrazione complessa
• Formula integrale di Cauchy
• Teorema di Morera

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