Teorema integrale di Cauchy

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Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.

Indice

[modifica] Enunciato

Il teorema integrale di Cauchy afferma che:

Sia

f:A\to\mathbb C

una funzione olomorfa definita su un dominio A semplicemente connesso. Per ogni curva chiusa e regolare a tratti

\gamma:[0,1]\to A\,\!

vale l'equazione

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = 0

[modifica] Dimostrazione

Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di f(z) è dato da:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]

e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \iint_{E} \left [- \frac {\partial v(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial u(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy + i \cdot \iint_{E} \left [ \frac {\partial u(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial v(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy = 0;
dove E è la regione interna a γ. Poiché f(z) è analitica, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:
\begin{matrix} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{matrix}

che annullano gli integrandi, da cui la tesi.

In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:

f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]

è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.

Il teorema continua a valere per domini in cui la curva γ sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.

[modifica] Dimostrazione di Goursat

percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy
percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy

La dimostrazione precedente è la dimostrazione standard del Teorema di Cauchy, tuttavia se si sta attenti si nota che essa è valida solo se si richiede la continuità delle derivate parziali prime.

In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione data da Edouard Goursat non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il Teorema di Cauchy viene detto anche Teorema di Cauchy-Goursat.

Suddividiamo la regione all'interno del percorso C in un reticolato come mostrato in figura. Risulta allora

\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz

Definiamo ora la funzione

\delta _j \left( {z,z_j } \right) = \frac{{f\left( z \right) - f\left( {z_j } \right)}}{{z - z_j }} - \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j }

dove zj è un punto della sottoregione j-esima.

Dato che f(z) è analitica è sempre possibile, per un \varepsilon arbitrario, ottenere

\left| {\delta _j \left( {z,z_j } \right)} \right| < \varepsilon

e poiché sono nulli i termini \oint {dz = \oint {zdz = 0} }, integrando si ottiene

\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz = } \oint_{C_j } {\left( {z - z_j } \right)\delta _j \left( {z,z_j } \right)dz}

e quindi si ottiene

\left| {\sum\limits_j {\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz} } } \right| < A\varepsilon

dove A è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome \varepsilon è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere così \oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz=0

[modifica] Corollari

[modifica] Curve con gli stessi estremi

Se γ1 e γ2 sono due diverse curve semplici, regolari a tratti che congiungono i punti A e B, entrambe con supporto nel dominio di analiticità della funzione f(z), allora:

\int_{\gamma_1} f(z) \ dz = \int_{\gamma_2}f(z) \ dz

cioè l'integrale non dipende dal cammino fatto per andare da A a B.

[modifica] Dimostrazione

Sia γ la curva chiusa ottenuta concatenando γ1 e γ2, quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:

\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \left(\int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} \right) f(z) \ dz = 0

ovvero

\int_{\gamma_1} f(z)\ dz = \int_{\gamma_2} f(z)\ dz.

[modifica] Esistenza di una primitiva

Ogni funzione olomorfa

f:A\to\mathbb C

definita su un aperto semplicemente connesso A ammette una primitiva F. Esiste cioè una funzione olomorfa

F:A\to\mathbb C

tale che F'(z) = f(z) per ogni z in A.

[modifica] Generalizzazione del teorema di Cauchy

Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy
Dominio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy

Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data f(z) analitica in un dominio A (in rosso) qualsiasi con all'interno (in grigio in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata Γ interna ad A ma che contiene tutte le zone disconnesse A' (in blu) e intorno a queste tracciamo delle curve l1,l2,l3 unite alla curva Γ da d1,d2,d3,d4. Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in blu). Allora:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{i = 1}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz +
\sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz - \sum_{i = 0}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz = 0

Poiché le curve di vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve li vengono perorse in senso inverso a Γ. Quindi:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{j = 1}^{3} \int_{-l_i} f(z) \ dz = 0

cioè:

\oint_{\Gamma} f(z) \ dz = \sum_{i = 0}^{3} \oint_{l_i} f(z) \ dz

In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

[modifica] Voci correlate


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy"
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