Teorema integrale di Cauchy
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Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa.
Indice |
[modifica] Enunciato
Il teorema integrale di Cauchy afferma che:
Sia
una funzione olomorfa definita su un dominio A semplicemente connesso. Per ogni curva chiusa e regolare a tratti
vale l'equazione
[modifica] Dimostrazione
Sappiamo dalla teoria dell'integrazione complessa che l'integrale di f(z) è dato da:
e sfruttando la formula di Gauss - Green si ottiene:
;
- dove E è la regione interna a γ. Poiché f(z) è analitica, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:
che annullano gli integrandi, da cui la tesi.
In termini di forme differenziali si può anche dire che la forma differenziale:
è una forma differenziale chiusa se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed esatta se il dominio è semplicemente connesso.
Il teorema continua a valere per domini in cui la curva γ sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.
[modifica] Dimostrazione di Goursat
La dimostrazione precedente è la dimostrazione standard del Teorema di Cauchy, tuttavia se si sta attenti si nota che essa è valida solo se si richiede la continuità delle derivate parziali prime.
In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione data da Edouard Goursat non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il Teorema di Cauchy viene detto anche Teorema di Cauchy-Goursat.
Suddividiamo la regione all'interno del percorso C in un reticolato come mostrato in figura. Risulta allora
Definiamo ora la funzione
dove zj è un punto della sottoregione j-esima.
Dato che f(z) è analitica è sempre possibile, per un
arbitrario, ottenere
e poiché sono nulli i termini
, integrando si ottiene
e quindi si ottiene
dove A è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome
è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere così 
[modifica] Corollari
[modifica] Curve con gli stessi estremi
Se γ1 e γ2 sono due diverse curve semplici, regolari a tratti che congiungono i punti A e B, entrambe con supporto nel dominio di analiticità della funzione f(z), allora:
cioè l'integrale non dipende dal cammino fatto per andare da A a B.
[modifica] Dimostrazione
Sia γ la curva chiusa ottenuta concatenando γ1 e γ2, quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:
ovvero
[modifica] Esistenza di una primitiva
Ogni funzione olomorfa
definita su un aperto semplicemente connesso A ammette una primitiva F. Esiste cioè una funzione olomorfa
tale che F'(z) = f(z) per ogni z in A.
[modifica] Generalizzazione del teorema di Cauchy
Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a domini a connessione multipla: data f(z) analitica in un dominio A (in rosso) qualsiasi con all'interno (in grigio in figura) zone non appartenenti a tale dominio. Tracciamo una curva orientata Γ interna ad A ma che contiene tutte le zone disconnesse A' (in blu) e intorno a queste tracciamo delle curve l1,l2,l3 unite alla curva Γ da d1,d2,d3,d4. Tutte le curve sono percorse in modo da lasciare a sinistra il dominio (in blu). Allora:
Poiché le curve di vengono percorse nei due sensi si annullano, mentre le curve li vengono perorse in senso inverso a Γ. Quindi:
cioè:
In questo modo può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su domini a connessione multipla.

![\gamma:[0,1]\to A\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/f/7/d/f7dc8a0a9a5bff05208dc98820442d0c.png)

![\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]](http://upload.wikimedia.org/math/8/5/b/85b5cc08b9f67c2f741e04828ae3a327.png)

![f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdot \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]](http://upload.wikimedia.org/math/b/4/b/b4b4cf86b41d5132ebce474977f0bbcc.png)













