Forma differenziale

In analisi matematica, e più precisamente nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Una forma differenziale $\omega$ è definita su un aperto dello spazio euclideo $\R^n$ ed ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$. Viene anche indicata brevemente come $k$-forma. Nel caso $k = 0$, la forma $\omega$ è una ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l'integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $S$ dello spazio euclideo $\R^n$ di analoga dimensione $k$. Il risultato di questa integrazione è indicato con

$\int_S \omega.\,$

Una 1-forma è quindi integrabile su una curva (del piano o dello spazio), una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

Definizione

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più profondo usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\R^n$, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R}^n$. Sia $k$ un intero con

$0 \leqslant k \leqslant n.$

Una $k$-forma differenziale è una scrittura del tipo:

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

dove

$a_{i_1,\ldots,i_k}: A\to\R^n$

è una funzione differenziabile e:

$\wedge$

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà: in particolare il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte per brevità i simboli $\wedge$ sono omessi.

Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$.
Una 1-forma in $\R^n$ si scrive come

$\omega = a_1(x_1,...,x_n)dx_1+\ldots +a_n(x_1,...,x_n)dx_n,\,\!$

dove le $a_i$ sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\R^2$.

$\omega_1 = 2dx -3dy, \quad \omega_2 = e^x dx, \quad \omega_3 = xydx - y^2dy.$

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in $\R^3$ si scrive come

$\omega = a(x,y,z)dx\wedge dy + b(x,y,z)dy\wedge dz + c(x,y,z) dx\wedge dz.$

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su $\R^3$:

$\omega = 2dx\wedge dy - xzdy\wedge dz.$

In generale una $n$-forma su $\R^n$ si scrive sempre usando un unico addendo

$\omega = a(x_1,...,x_n)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n$

dove $a(x_1,...,x_n)$ è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore

Una $k$-forma è una sezione liscia della $k$-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$:

$\omega :M \rightarrow \Lambda^k(T^*(M)).$

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

$\omega(x)\colon \underbrace {T_x M\times \cdots \times T_x M}_k \to \mathbb{R}$

dove $T_x M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$. La funzione $\omega(x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$. Equivalentemente, $\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$.

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$, cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di $\R^n$, in ogni punto lo spazio tangente $T_x(M)$ è identificato con $\R^n$. La base canonica per $\R^n$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda^k((\R^n)^*)$ del tipo

$\mathcal B = \big\{dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}\ |\ 1\leqslant i_1<\ldots < i_k\leqslant n \big\}$

dove l'elemento $dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento $\omega(x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

tramite dei coefficienti

$a_{i_1,\ldots,i_k}(x)$

che variano in modo liscio rispetto a $x$. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se $k=1$ allora

$\Lambda^1((\R^n)^*) = (\R^n)^*$

è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\R^n$ e $\mathcal B$ è la base duale $dx_1,\ldots, dx_n$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$, ogni $k$-forma $\omega$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche

Somma e prodotto per scalare

Due $k$-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$-forma. Una $k$-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle $k$-forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno

$\omega\wedge \eta$

di una $k$-forma $\omega$ e di una $h$-forma $\eta$ è una $(k+h)$-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

$dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i \, \forall i ,\, j$

La proprietà anticommutativa implica che

$dx_i \wedge dx_i = 0.$

I coefficienti dei $dx_i$ però commutano fra loro e con i $dx_i$. Ad esempio, se

$\omega = xdy - ydx, \quad \eta = xdx\wedge dz$

sono una 1-forma e una 2-forma su $\R^3$, il loro prodotto esterno è

$\omega\wedge \eta = (xdy -ydx) \wedge (xdx\wedge dz) = x^2dy\wedge dx \wedge dz- xydx\wedge dx \wedge dz = -x^2 dx \wedge dy \wedge dz.$

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

$\omega\wedge\eta = \frac 1 2(\omega\otimes\eta - \eta\otimes\omega).$

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

$\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k}(\sgn \sigma) \omega_{\sigma 1}\otimes\dots\otimes\omega_{\sigma k}.$

Proprietà

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

$h \wedge (f + g) = h \wedge f + h \wedge g.$

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$, con un segno che però dipende dal prodotto $kh$:

$f \wedge g = (-1)^{kh} g \wedge f.$

Derivata di una forma differenziale

Per approfondire, vedi Derivata esterna.

La derivata di una $k$-forma è una $(k+1)$-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna $d\omega$ di una $k$-forma differenziale

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

è la $(k+1)$-forma

$d\omega = \sum_{i=1}^n \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} \frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_i}(x) dx_i \wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}.$

Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è una operazione lineare. In altre parole,

$d(a\omega + b\mu) = a\cdot d\omega + b \cdot d\mu$

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge d\eta).$

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

$d^2 = 0$

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse e esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se

$d\omega = 0$

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$-forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$-forma $\eta$ tale che

$d\eta = \omega.$

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$.

Poiché $d^2\eta=0$, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto $A$ di definizione.

Forme lineari

Una 1-forma differenziale

$\omega = a_1 dx_1 + \ldots + a_n dx_n,$

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

$\frac{\partial a_j}{\partial x_i} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j}$

per ogni $i,j$.

Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto $A$). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto $A$, ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\R^n$. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

$\omega = \frac y{x^2+y^2}dx - \frac x{x^2+y^2}dy$

definita nell'aperto del piano

$A = \R^2 \setminus \{(0,0)\}$

è chiusa ma non esatta. L'aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb Z$.

Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\R^2$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato $\R^2$ con il piano complesso $\mathbb C$, è possibile definire una 1-forma complessa

$f(z)dz = f(x+iy)dx +if(x+iy)dy$

a partire da una qualsiasi funzione

$f:A\to \mathbb C.$

definita su un aperto $A$ del piano complesso. Si tratta di una usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa. Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa $g'(z) = f(z)$ pari a $f(z)$.

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

$f(z)=\frac1z dz$

definita sull'aperto

$A=\mathbb{C}\setminus\{0\}$

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

$f(z)dz=\frac{x-iy}{x^2+y^2}dx+\frac{y+ix}{x^2+y^2}dy=$

$=\left[\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy\right]+i\left[-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\right]$

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$.

Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell'aperto $A$ su cui è definita. L'integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

$\int_S\omega$

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k=0$, la forma è una funzione, $S$ è una unione di punti e l'integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

$\omega=\sum a_{i_1,\dots,i_k}(x)\, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

$S(u)=(x_1(u),\dots,x_n(u))$

con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\R^k$, l'integrale è definito come

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S(u)) \frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}\,du_1\ldots du_k$

dove

$\frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}$

è il determinante del jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare una orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\R^3$), l'integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

• $\int_{S_1\sqcup S_2} \omega = \int_{S_1} \omega + \int_{S_2} \omega.\,\!$

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a, b$ sono costanti):

• $\int_S (a\omega + b\eta) = a\int_S\omega + b\int_S\eta.$

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:

• $\int_{-S} = -\int_S.\,\!$

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$, vale la relazione

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.$

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una $k$-forma su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea

Per approfondire, vedi Integrale di linea.

Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$. L'integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:

$\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} \left\langle\omega(\gamma(t)),\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle dt$

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto $A$ sia contenuto nel piano $\R^2$, la forma è del tipo

$\omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy$

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

$\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} [a(x,y) \cdot x^\prime(t) + b(x,y) \cdot y^\prime(t)] \cdot dt$

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

• Se $\omega$ è esatta, l'integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
• Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione $1/z$ su $\mathbb C^*$ non è esatta, poiché

$\int_\gamma \frac 1z = 2\pi i$

per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Curva
• Integrale di linea
• Algebra di Grassmann
• Varietà
• Forma di volume

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