Forma differenziale

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In analisi matematica, e più precisamente nel calcolo differenziale a più variabili, la forma differenziale è un oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Una forma differenziale $ω$ è definita su un aperto dello spazio euclideo $\R^n$ ed ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$ . Viene anche indicata brevemente come $k$ -forma. Nel caso $k = 0$ , la forma $ω$ è una ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza $ω$ è la possibilità di effettuare l'integrale di $ω$ su un qualsiasi oggetto geometrico $S$ dello spazio euclideo $\R^n$ di analoga dimensione $k$ . Il risultato di questa integrazione è indicato con

$\int_S \omega.\,$

Una 1-forma è quindi integrabile su una curva (del piano o dello spazio), una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

[modifica] Definizione

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più profondo usando l'algebra lineare ed i concetti di di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\R^n$ , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

[modifica] Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R}^n$ . Sia $k$ un intero con

$0 \leqslant k \leqslant n.$

Una $k$ -forma differenziale è una scrittura del tipo

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

dove

$a_{i_1,\ldots,i_k}: A\to\R$

è una funzione differenziabile. A volte per brevità i simboli $\wedge$ sono omessi.

[modifica] Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$ .

Le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\R^2$ .

$\omega_1 = 2dx -3dy, \quad \omega_2 = e^x dx, \quad \omega_3 = xydx - y^2dy.$

Nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti. La scrittura seguente è una 2-forma su $\R^3$ .

$\omega = 2dx\wedge dy - xzdy\wedge dz.$

Una 1-forma in $\R^n$ si scrive come

$\omega = a_1(x)dx_1+\ldots +a_n(x)dx_n,\,\!$

dove le $a i$ sono opportune funzioni differenziabili. Una $n$ -forma su $\R^n$ si scrive sempre usando un unico addendo

$\omega = a(x)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n$

dove $a (x)$ è una funzione differenziabile.

Una 2-forma in $\R^3$ si scrive come

$\omega = a(x)dx\wedge dy + b(x)dy\wedge dz + c(x) dx\wedge dz.$

[modifica] Definizione come tensore

Una $k$ -forma è una sezione liscia della $k$ -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$ :

$\omega :M \rightarrow \Lambda^k(T^*(M)).\,\!$

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

$\omega(x)\colon \underbrace {T_x M\times \cdots \times T_x M}_k \to \mathbb{R}$

dove $T x M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$ . La funzione $ω(x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$ . Equivalentemente, $ω$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0, k)$ .

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$ , cioè una sezione del fibrato cotangente.

[modifica] Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di $\R^n$ , in ogni punto lo spazio tangente $T x (M)$ è identificato con $\R^n$ . La base canonica per $\R^n$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda^k((\R^n)^*)$ del tipo

$\mathcal B = \big\{dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}\ |\ 1\leqslant i_1<\ldots < i_k\leqslant n \big\}$

dove l'elemento $dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento $ω(x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

tramite dei coefficienti

$a_{i_1,\ldots,i_k}(x)$

che variano in modo liscio rispetto a $x$ . La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se $k = 1$ allora

$\Lambda^1((\R^n)^*) = (\R^n)^*$

è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\R^n$ e $\mathcal B$ è la base duale $dx_1,\ldots, dx_n$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

[modifica] Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$ , ogni $k$ -forma $ω$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

[modifica] Operazioni algebriche

[modifica] Somma e prodotto per scalare

Due $k$ -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$ -forma. Una $k$ -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle $k$ -forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

[modifica] Prodotto esterno

Il prodotto esterno

$\omega\wedge \eta$

di una $k$ -forma $ω$ e di una $h$ -forma $η$ è una $(k + h)$ -forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

$dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i \, \forall i ,\, j$

La proprietà anticommutativa implica che

$dx_i \wedge dx_i = 0.$

I coefficienti dei $d x i$ però commutano fra loro e con i $d x i$ . Ad esempio, se

$\omega = xdy - ydx, \quad \eta = xdx\wedge dz$

sono una 1-forma e una 2-forma su $\R^3$ , il loro prodotto esterno è

$\omega\wedge \eta = (xdy -ydx) \wedge (xdx\wedge dz) = x^2dy\wedge dx \wedge dz- xydx\wedge dx \wedge dz = -x^2 dx \wedge dy \wedge dz.$

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $ω$ e $η$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$ , ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui $ω$ e $η$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

$\omega\wedge\eta = \frac 1 2(\omega\otimes\eta - \eta\otimes\omega).$

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

$\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k}(\sgn \sigma) \omega_{\sigma 1}\otimes\dots\otimes\omega_{\sigma k}.$

[modifica] Proprietà

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

$h \wedge (f + g) = h \wedge f + h \wedge g.$

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$ , con un segno che però dipende dal prodotto $k h$ :

$f \wedge g = (-1)^{kh} g \wedge f.$

[modifica] Derivata di una forma differenziale

La derivata di una $k$ -forma è una $(k + 1)$ -forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna $d ω$ di una $k$ -forma differenziale

$\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}$

è la $(k + 1)$ -forma

$d\omega = \sum_{i=1}^n \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} \frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_i}(x) dx_i \wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}.$

[modifica] Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è una operazione lineare. In altre parole,

$d(a\omega + b\mu) = a\cdot d\omega + b \cdot d\mu$

dove però $a, b$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge d\eta).$

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

$d^2 = 0 \,\!$

che segue dal teorema di Schwarz.

[modifica] Forme chiuse e esatte

Una forma differenziale $ω$ è chiusa se

$d\omega = 0\,\!$

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$ -forma $ω$ è invece esatta se esiste una $(k - 1)$ -forma $η$ tale che

$d\eta = \omega.\,\!$

La forma $η$ è detta primitiva di $ω$ .

Poiché $d 2 = 0$ , ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto $A$ di definizione.

[modifica] Forme lineari

Una 1-forma differenziale

$\omega = a_1 dx_1 + \ldots + a_n dx_n, \,\!$

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

$\frac{\partial a_j}{\partial x_i} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j}$

per ogni $i, j$ .

[modifica] Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto $A$ ). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto $A$ , ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\R^n$ . In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

$\omega = \frac y{x^2+y^2}dx - \frac x{x^2+y^2}dy$

definita nell'aperto del piano

$A = \R^2 \setminus \{(0,0)\}$

è chiusa ma non esatta. L'aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb Z$ .

[modifica] Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\R^2$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato $\R^2$ con il piano complesso $\mathbb C$ , è possibile definire una 1-forma complessa

$f(z)dz = f(x+iy)dx +if(x+iy)dy\,\!$

a partire da una qualsiasi funzione

$f:A\to \mathbb C.$

definita su un aperto $A$ del piano complesso. Si tratta di una usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f (z) d z$ risulta essere chiusa. Inoltre $f (z) d z$ è esatta con primitiva $g (z)$ se e solo se $g (z)$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa $g'(z) = f (z)$ pari a $f (z)$ .

In questo contesto risulta più semplice costruire na forma chiusa ma non esatta. La forma

$f(z)=\frac1z$

definita sull'aperto

$A=\mathbb{C}\setminus\{0\}$

è chiusa (perché $1 / z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1 / z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$ , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1 / z$ , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

$f(z)dz=\frac{x-iy}{x^2+y^2}dx+\frac{y+ix}{x^2+y^2}dy=$

$=\left[\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy\right]+i\left[-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\right]$

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f (z) d z$ .

[modifica] Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$ -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell'aperto $A$ su cui è definita. L'integrale di $ω$ è indicato con il simbolo

$\int_S\omega\,\!$

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k = 0$ , la forma è una funzione, $S$ è una unione di punti e l'integrale di $ω$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

$\omega=\sum a_{i_1,\dots,i_k}(x)\, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

$S(u)=(x_1(u),\dots,x_n(u))\,\!$

con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\R^k$ , l'integrale è definito come

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S(u)) \frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}\,du_1\ldots du_k$

dove

$\frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}$

è il determinante del jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare una orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\R^3$ ), l'integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

[modifica] Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

$\int_{S_1\sqcup S_2} \omega = \int_{S_1} \omega + \int_{S_2} \omega.\,\!$

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a, b$ sono costanti):

$\int_S (a\omega + b\eta) = a\int_S\omega + b\int_S\eta. \,\!$

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:

$\int_{-S} = -\int_S.\,\!$

[modifica] Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se $ω$ è una $(n - 1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$ , vale la relazione

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,$

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una $k$ -forma su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

[modifica] Integrale di linea

Per approfondire, vedi la voce Integrale di linea.

Una 1-forma $ω$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $γ$ . L'integrale di $ω$ lungo $γ$ può essere calcolato con la formula seguente:

$\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} \left\langle\omega(\gamma(t)),\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle dt$

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto $A$ sia contenuto nel piano $\R^2$ , la forma è del tipo

$\gamma=a(x,y)dx+b(x,y)dy\,\!$

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

$\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} [a(x,y) \cdot x^\prime(t) + b(x,y) \cdot y^\prime(t)] \cdot dt$

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

Se $ω$ è esatta, l'integrale di $ω$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
Conseguentemente, se $ω$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione $1 / z$ su $\mathbb C^*$ non è esatta, poiché

$\int_\gamma \frac 1z = 2\pi i$

per ogni curva $γ$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

[modifica] Voci correlate

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Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Definizione come scrittura formale

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