Forma differenziale

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In analisi matematica, e più precisamente nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Una forma differenziale \omega è definita su un aperto dello spazio euclideo \R^n ed ha una dimensione  k minore o uguale a  n . Viene anche indicata brevemente come k-forma. Nel caso  k = 0 , la forma \omega è una ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza \omega è la possibilità di effettuare l'integrale di \omega su un qualsiasi oggetto geometrico  S dello spazio euclideo \R^n di analoga dimensione  k . Il risultato di questa integrazione è indicato con

\int_S \omega.\,

Una 1-forma è quindi integrabile su una curva (del piano o dello spazio), una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più profondo usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di \R^n, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un aperto di \mathbb{R}^n. Sia k un intero con

0 \leqslant k \leqslant n.

Una k-forma differenziale è una scrittura del tipo:[1]

\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}

dove

a_{i_1,\ldots,i_k}: A\to\R^n

è una funzione differenziabile e:

\wedge

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale \times, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà: in particolare il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte per brevità i simboli \wedge sono omessi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su A.
Una 1-forma in \R^n si scrive come

\omega = a_1(x_1,...,x_n)dx_1+\ldots +a_n(x_1,...,x_n)dx_n,\,\!

dove le a_i sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su \R^2.

\omega_1 = 2dx -3dy, \quad \omega_2 = e^x dx, \quad \omega_3 = xydx - y^2dy.

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in \R^3 si scrive come

\omega = a(x,y,z)dx\wedge dy + b(x,y,z)dy\wedge dz + c(x,y,z) dx\wedge dz.

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su \R^3:

\omega = 2dx\wedge dy - xzdy\wedge dz.

In generale una n-forma su \R^n si scrive sempre usando un unico addendo

\omega = a(x_1,...,x_n)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n

dove  a(x_1,...,x_n) è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore[modifica | modifica wikitesto]

Una  k -forma è una sezione liscia della k-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile M:

\omega :M \rightarrow \Lambda^k(T^*(M)).

In altre parole, per ogni punto x di M è data una funzione multilineare antisimmetrica

\omega(x)\colon \underbrace {T_x M\times \cdots \times T_x M}_k \to \mathbb{R}

dove T_x M è lo spazio tangente a M in x. La funzione \omega(x) varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di x. Equivalentemente, \omega è un campo tensoriale che associa ad ogni punto x di M un tensore antisimmetrico di tipo (0,k).

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo (0,1), cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Se M è un insieme aperto di \R^n, in ogni punto lo spazio tangente T_x(M) è identificato con \R^n. La base canonica per \R^n induce quindi una base per lo spazio vettoriale \Lambda^k((\R^n)^*) del tipo

\mathcal B = \big\{dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}\ |\ 1\leqslant i_1<\ldots < i_k\leqslant n \big\}

dove l'elemento dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k} rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento \omega(x) è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}

tramite dei coefficienti

a_{i_1,\ldots,i_k}(x)

che variano in modo liscio rispetto a x. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se k=1 allora

\Lambda^1((\R^n)^*) = (\R^n)^*

è lo spazio duale dei funzionali lineari su \R^n e  \mathcal B è la base duale dx_1,\ldots, dx_n della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto x un funzionale lineare.

Carte[modifica | modifica wikitesto]

Se M è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto x, ogni k-forma \omega è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Somma e prodotto per scalare[modifica | modifica wikitesto]

Due k-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova k-forma. Una k-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle k-forme su un aperto A forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto esterno

\omega\wedge \eta

di una k-forma \omega e di una h-forma \eta è una (k+h)-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i \, \forall i ,\, j

La proprietà anticommutativa implica che

dx_i \wedge dx_i = 0.

I coefficienti dei dx_i però commutano fra loro e con i dx_i. Ad esempio, se

\omega = xdy - ydx, \quad \eta = xdx\wedge dz

sono una 1-forma e una 2-forma su \R^3, il loro prodotto esterno è

\omega\wedge \eta = (xdy -ydx) \wedge (xdx\wedge dz) = x^2dy\wedge dx \wedge dz- xydx\wedge dx \wedge dz = -x^2 dx \wedge dy \wedge dz.

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui \omega e \eta siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale \otimes, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui \omega e \eta sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

\omega\wedge\eta = \frac 1 2(\omega\otimes\eta - \eta\otimes\omega).

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_k = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k}(\sgn \sigma) \omega_{\sigma 1}\otimes\dots\otimes\omega_{\sigma k}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

h \wedge (f + g) = h \wedge f + h \wedge g.

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo k e h, con un segno che però dipende dal prodotto kh:

f \wedge g = (-1)^{kh} g \wedge f.

Derivata di una forma differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata esterna.

La derivata di una k-forma è una (k+1)-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna d\omega di una k-forma differenziale

\omega = \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} a_{i_1,\ldots,i_k}(x) dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}

è la (k+1)-forma[2]

d\omega = \sum_{i=1}^n \sum_{1\leqslant i_1<\ldots< i_k\leqslant n} \frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_i}(x) dx_i \wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è una operazione lineare. In altre parole,

d(a\omega + b\mu) = a\cdot d\omega + b \cdot d\mu

dove però a,b sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge d\eta).

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

 d^2 = 0

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse e esatte[modifica | modifica wikitesto]

Una forma differenziale \omega è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

d\omega = 0

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una k-forma \omega è invece esatta se esiste una (k-1)-forma \eta tale che

d\eta = \omega.

La forma \eta è detta primitiva di \omega.

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché d^2\eta=0, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto A di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se X \subset \R^n è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su X è una forma differenziale esatta per ogni intero p>0.

Forme lineari[modifica | modifica wikitesto]

Una 1-forma differenziale

\omega = a_1 dx_1 + \ldots + a_n dx_n,

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

\frac{\partial a_j}{\partial x_i} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j}

per ogni i,j.

Forme lineari e domini semplicemente connessi[modifica | modifica wikitesto]

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto A). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto A, ovvero dalla sua topologia.

Se A è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se A è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in \R^n. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

 \omega = \frac y{x^2+y^2}dx - \frac x{x^2+y^2}dy

definita nell'aperto del piano

A = \R^2 \setminus \{(0,0)\}

è chiusa ma non esatta. L'aperto A non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è \mathbb Z.

Forme lineari e analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Le 1-forme nel piano \R^2 sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato \R^2 con il piano complesso \mathbb C, è possibile definire una 1-forma complessa

f(z)dz = f(x+iy)dx +if(x+iy)dy

a partire da una qualsiasi funzione

f:A\to \mathbb C.

definita su un aperto A del piano complesso. Si tratta di una usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se f è una funzione olomorfa su un aperto A del piano, allora la forma f(z)dz risulta essere chiusa. Inoltre f(z)dz è esatta con primitiva g(z) se e solo se g(z) è anch'essa olomorfa con derivata complessa  g'(z) = f(z) pari a f(z).

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

f(z)=\frac1z  dz

definita sull'aperto

A=\mathbb{C}\setminus\{0\}

è chiusa (perché 1/z è olomorfa) ma non esatta: la funzione 1/z non ammette infatti una primitiva su tutto  A, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di 1/z, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

f(z)dz=\frac{x-iy}{x^2+y^2}dx+\frac{y+ix}{x^2+y^2}dy=
=\left[\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy\right]+i\left[-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\right]

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di f(z)dz.

Integrazione di una forma differenziale[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà più importante che caratterizza una k-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile S di dimensione k dell'aperto A su cui è definita. L'integrale di \omega è indicato con il simbolo

\int_S\omega

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se k=0, la forma è una funzione, S è una unione di punti e l'integrale di \omega su S è semplicemente la somma dei valori di f assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

\omega=\sum a_{i_1,\dots,i_k}(x)\, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}

Se S ha una parametrizzazione del tipo

S(u)=(x_1(u),\dots,x_n(u))

con u variabile in un dominio D di \R^k, l'integrale è definito come[1]

\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S(u)) \frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}\,du_1\ldots du_k

dove

\frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}

è il determinante del jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare una orientazione su S e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà S è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in \R^3), l'integrale su S è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono S a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

  •  \int_{S_1\sqcup S_2} \omega = \int_{S_1} \omega + \int_{S_2} \omega.\,\!

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti a, b sono costanti):

  •  \int_S (a\omega + b\eta) = a\int_S\omega + b\int_S\eta.

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:[3]

  •  \int_{-S} = -\int_S.\,\!

Teorema di Stokes[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se \omega è una (n-1) forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta M, vale la relazione

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una k-forma su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Integrale di linea.

Una 1-forma \omega è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva \gamma. L'integrale di \omega lungo \gamma può essere calcolato con la formula seguente:

\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} \left\langle\omega(\gamma(t)),\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\rangle dt

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto A sia contenuto nel piano \R^2, la forma è del tipo

\omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

\int_{\gamma} \omega = \int_{c}^{d} [a(x,y) \cdot x^\prime(t) + b(x,y) \cdot y^\prime(t)] \cdot dt

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

  • Se \omega è esatta, l'integrale di \omega su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
  • Conseguentemente, se \omega è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione 1/z su \mathbb C^* non è esatta, poiché

\int_\gamma \frac 1z = 2\pi i

per ogni curva \gamma avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b W. Rudin, Pag. 258
  2. ^ W. Rudin, Pag. 265
  3. ^ W. Rudin, Pag. 260

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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