Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo K di dimensione finita $n$, lo spazio duale $V^*$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$.

Fissata per $V$ una base $(e_1,\ldots,e_n)$, la base duale $(e^1,\ldots,e^n)$ è una base di $V^*$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

$e^i(e_j) = \delta_{ij}$

dove $\delta_{ij}$ è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale

Effetto su un vettore

Ogni vettore $v$ di $V$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

$v = \sum_{i=1}^n v^i e_i.$

Il risultato dell'applicazione di $e^i$ su $v$ è il seguente:

$e^i(v) = e^i \left( \sum_{k=1}^n v^k e_k \right) = \sum_{k=1}^n v^k \delta_{ik} = v^i.$

Quindi $e^i$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore $v$ la $i$-ma componente $v^i$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da $e_i$.

Coordinate rispetto alla base duale

Sia $f$ un generico elemento di $V^*$, cioè una applicazione lineare $f$ da $V$ a $K$. Applicata su un vettore

$v = \sum_{i=1}^n v^i e_i$

produce la relazione:

$f(v) = \sum_{i=1}^n v^i f(e_i)$

L'applicazione $f$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di $V$. D'altra parte la $f$ trasforma un vettore in un elemento del campo $K$, per cui la $f$ è definita dagli $n$ "numeri":

$f_i = f(e_i)$

Di conseguenza, la $f$ è ottenuta come combinazione lineare degli $e^i$:

$f = \sum_{i=1}^n f_i e^i.$

Infatti vale la relazione:

$f(v) = \sum_{i=1}^n f_i e^i(v) = \sum_{i=1}^n f_i v^i.$

Ogni applicazione $f$ in $V^*$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni $e^i$, e pertanto:

• $(e^1,\ldots,e^n)$ è effettivamente una base di $V^*$, che ha quindi dimensione $n$;
• le $f_i$ sono le coordinate di $f$ rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi

Dualità delle basi

Le basi di $V$ e $V^*$ presentano la seguente simmetria:

• applicando $e^i$ a un vettore $v$ si ottiene la i-ma componente di $v$ rispetto alla base $(e_1,\ldots,e_n)$ di $V$:

$e^i(v) = v^i$

• applicando una applicazione $f$ a $e_i$ si ottiene la i-ma componente di $f$ rispetto alla base $(e^1,\ldots,e^n)$ di $V^*$:

$f(e_i) = f_i$

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di $V^*$, detto anche spazio biduale di $V$, che si indica con $V^{**}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su $V^*$. Poiché $V^*$, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione $n$, anche $V^{**}$ lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di $V^{**}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di $V$. Infatti, è possibile associare ad un vettore $v$ di $V$ l'applicazione $F_v$ di $V^{**}$ che agendo sull'applicazione $f$ produce lo stesso scalare che produce $f$ agendo su $v$:

$F_v (f) = f(\bar v).$

L'applicazione da $V$ in $V^{**}$ definita da

$v\mapsto F_v$

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi $V$ e $V^{**}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi $V^*$ e $V^{***}$ sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di $(e^1,\ldots,e^n)$ è effettivamente $(F_{e_1},\ldots,F_{e_n})$. Infatti

$F_{e_i}(f) = f(e_i) = f_i.$

Applicazioni bilineari

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale $f$ ad un vettore $v$ - che fino ad ora abbiamo scritto come $f(v)$ mettendo in evidenza che $f$ è una applicazione da $V$ a $K$ - come una applicazione bilineare da $V^* \times V$ a $K$, definita nel modo seguente:

$<\quad,\quad> : V^* \times V \rightarrow K$

$<f, v> = f(v) = F_v(f).$

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di $V^*$ e di $V$ uno scalare. L'operazione $<f, v>$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione $f$ che agisce su un vettore $v$ o come un vettore $v$ (anzi, $F_v$) che agisce su una applicazione $f$.

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

$<e^i, v> = v^i$

$<f,e_i> = f_i$

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

$<e^i, e_j> = \delta_{ij}.$

Identificazione di $V$ e $V^*$.

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra $V$ e $V^{**}$. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di $V$ a quelli di $V^*$. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per $V$.

Isomorfismo tramite scelta di base

Un isomorfismo tra $V$ e $V^*$ può essere costruito a partire da una base $(e_1,\ldots,e_n)$ per $V$. Questa determina una base duale $e^1,\ldots,e^n$, e l'isomorfismo fra $V$ e $V^*$ associa al vettore $v$ avente componenti $v^i$ l'applicazione $f$ avente uguali componenti $f_i=v^i$ rispetto a $e^i$.

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a $v$ non è però più necessariamente la stessa $f$: in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare

È possibile definire un isomorfismo tra $V$ e $V^*$ a partire da un prodotto scalare per $V$, cioè una particolare applicazione bilineare:

$<\quad,\quad> : V \times V \rightarrow K$

$<\quad,\quad> : ( w , v) \rightarrow <w,v>$

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore $w$ di $V$ l'applicazione $f_w$ tale che:

$<f_w,v> = <w , v>.$

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su $V$. Qualora si identifichi $V$ e $V^*$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per $V$.

Spazi euclidei

Uno spazio euclideo $\R^n$ è dotato del prodotto scalare euclideo. Tramite questo prodotto scalare, è possibile quindi identificare lo spazio euclideo con il suo duale. In dimensione $n=2,3$ è quindi possibile rappresentare geometricamente la relazione fra una base e la sua base duale.

Ad esempio in dimensione 3, la base duale di una base $(e_1,e_2,e_3)$ è la base $(e^1,e^2,e^3)$ determinata dalle relazioni

$e^i\cdot e_j = \delta_{ij}.$

La dualità è visibile anche in questo contesto: la simmetria della relazione garantisce che la base duale di $(e^1,e^2,e^3)$ sia la base originaria.

Se la base originaria è ortogonale, cioè se

$e_i\cdot e_j = \delta_{ij}$

allora la base duale coincide con questa, cioè $e_i=e^i$ per ogni $i$. Se la base originaria non è ortogonale, questo però non accade. In generale, il vettore $e^1$ è un vettore normale al piano generato da $e_2$ e $e_3$:

Il vettore $e^1$ ha lo stesso verso di $e_1$ e la sua lunghezza è pari a

$|e^1| = \frac{1}{|e_1| cos(\theta)}.$

I vettori $e^2$ ed $e^3$ si costruiscono analogamente.

Tale costruzione si lascia facilmente generalizzare allo spazio euclideo $\R^n$ dimensione $n$ qualunque. In ogni caso si procederà infatti nel modo seguente:

1. Data una base $(e_1,\ldots,e_n)$ si prende un vettore $e_k$, e si considera l'iperpiano di dimensione $n-1$ generato dai vettori $e_i$ con $i\neq k$;
2. Il vettore $e_k$ forma con la retta ortogonale all'iperpiano un angolo $\theta$ ed ha lunghezza $|e_k|$;
3. Il vettore $e^k$ è il vettore ortogonale all'iperpiano, avente lo stesso verso di $e_k$ e di lunghezza

$|e^k| = \frac 1 {|e_k| cos(\theta)}.$

Bibliografia

• P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)

Voci correlate

• Geometria
• Spazio vettoriale
• Spazio euclideo
• Covarianza e controvarianza

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