Base duale

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio vettoriale  V su campo K di dimensione finita  n , lo spazio duale  V^* è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da  V in K.

Fissata per  V una base (e_1,\ldots,e_n), la base duale (e^1,\ldots,e^n) è una base di V^* univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

e^i(e_j) = \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale[modifica | modifica wikitesto]

Effetto su un vettore[modifica | modifica wikitesto]

Ogni vettore v di  V può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

v = \sum_{i=1}^n v^i e_i.

Il risultato dell'applicazione di e^i su v è il seguente:

e^i(v) = e^i \left( \sum_{k=1}^n v^k e_k \right) = \sum_{k=1}^n v^k \delta_{ik} = v^i.

Quindi e^i è l'applicazione che "estrae" da un vettore v la i-ma componente v^i delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da e_i.

Coordinate rispetto alla base duale[modifica | modifica wikitesto]

Sia f un generico elemento di  V^*, cioè una applicazione lineare  f da  V a  K . Applicata su un vettore

v = \sum_{i=1}^n v^i e_i

produce la relazione:

f(v) = \sum_{i=1}^n v^i f(e_i)

L'applicazione  f è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di  V . D'altra parte la  f trasforma un vettore in un elemento del campo  K , per cui la  f è definita dagli  n "numeri":

f_i = f(e_i)

Di conseguenza, la f è ottenuta come combinazione lineare degli e^i:

f = \sum_{i=1}^n f_i e^i.

Infatti vale la relazione:

f(v) = \sum_{i=1}^n f_i e^i(v) = \sum_{i=1}^n f_i v^i.

Ogni applicazione  f in  V^* può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni e^i, e pertanto:

  • (e^1,\ldots,e^n) è effettivamente una base di V^*, che ha quindi dimensione  n ;
  • le f_i sono le coordinate di  f rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi[modifica | modifica wikitesto]

Dualità delle basi[modifica | modifica wikitesto]

Le basi di V e V^* presentano la seguente simmetria:

  • applicando e^i a un vettore v si ottiene la i-esima componente di v rispetto alla base (e_1,\ldots,e_n) di V:
e^i(v) = v^i
  • applicando una applicazione f a e_i si ottiene la i-esima componente di f rispetto alla base (e^1,\ldots,e^n) di  V^*:
f(e_i) = f_i

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di V^*, detto anche spazio biduale di V, che si indica con V^{**} ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su V^*. Poiché V^*, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione  n , anche V^{**} lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di V^{**} resta "naturalmente" associato ad un vettore di V. Infatti, è possibile associare ad un vettore v di V l'applicazione F_v di  V^{**} che agendo sull'applicazione f produce lo stesso scalare che produce f agendo su v:

F_v (f) = f(\bar v)

L'applicazione da V in V^{**} definita da:

v\mapsto F_v

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi V e V^{**} sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi V^* e V^{***} sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di (e^1,\ldots,e^n) è effettivamente (F_{e_1},\ldots,F_{e_n}). Infatti:

 F_{e_i}(f) = f(e_i) = f_i

Applicazioni bilineari[modifica | modifica wikitesto]

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale f ad un vettore v - che fino ad ora abbiamo scritto come f(v) mettendo in evidenza che  f è una applicazione da V a K - come una applicazione bilineare da V^* \times V a  K , definita nel modo seguente:

\langle , \rangle : V^* \times V \to K
\langle f, v \rangle = f(v) = F_v(f).

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di V^* e di V uno scalare. L'operazione \langle f, v \rangle può essere intesa in duplice senso: come una applicazione f che agisce su un vettore v o come un vettore v (anzi, F_v) che agisce su una applicazione f.

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

\langle e^i, v \rangle = v^i \qquad \langle f,e_i \rangle = f_i

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

\langle e^i, e_j \rangle = \delta_{ij}

Identificazione di V e V^*.[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra  V e V^{**}. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di  V a quelli di  V^*. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per V.

Isomorfismo tramite scelta di base[modifica | modifica wikitesto]

Un isomorfismo tra V e V^* può essere costruito a partire da una base (e_1,\ldots,e_n) per V. Questa determina una base duale e^1,\ldots,e^n, e l'isomorfismo fra V e V^* associa al vettore v avente componenti v^i l'applicazione  f avente uguali componenti f_i=v^i rispetto a e^i.

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a v non è però più necessariamente la stessa  f : in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire un isomorfismo tra V e V^* a partire da un prodotto scalare per V, cioè una particolare applicazione bilineare:

 \langle , \rangle : V \times V \to K
 \langle , \rangle : ( w , v) \to \langle w,v \rangle

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore  w di V l'applicazione f_w tale che:

\langle f_w , v \rangle = \langle w , v \rangle

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su V. Qualora si identifichi V e V^* in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per V.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La base standard di \R^2 (il piano cartesiano) è:


\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\} = \left\{
\begin{pmatrix}
  1 \\
  0 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
  0 \\
  1 
\end{pmatrix}
\right\}

mentre la base standard del suo duale {\R^2}^* è:


\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2\} = \left\{
\begin{pmatrix}
  1 & 0 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
  0 & 1 
\end{pmatrix}
\right\}

In tre dimensioni, per una data base \{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \mathbf{e}^3\} si può trovare la base duale (o biortogonale) \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\} con le formule:


\mathbf{e}^1 = \left(\frac{\mathbf{e}_2\times\mathbf{e}_3}{V}\right)^\text{T},\ 
\mathbf{e}^2 = \left(\frac{\mathbf{e}_3\times\mathbf{e}_1}{V}\right)^\text{T},\ 
\mathbf{e}^3 = \left(\frac{\mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2}{V}\right)^\text{T}

dove l'apice \text{T} indica la trasposta e:

V                                           \,=\,
\left(\mathbf{e}_1;\mathbf{e}_2;\mathbf{e}_3\right)\,=\,
\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2\times\mathbf{e}_3)  \,=\,
\mathbf{e}_2\cdot(\mathbf{e}_3\times\mathbf{e}_1)  \,=\,
\mathbf{e}_3\cdot(\mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2)

è il volume del parallelepipedo formato dai vettori di base \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 e \mathbf{e}_3.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
  • (EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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