Toro (geometria)

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In geometria il toro o toroide è una superficie a forma di ciambella. Può essere ottenuta come superficie di rivoluzione, facendo ruotare una circonferenza, la generatrice, intorno ad un asse di rotazione appartenente allo stesso piano della generatrice, ma disgiunto da questa.

Il termine deriva dal latino torus che indicava, fra le altre cose, un tipo di cuscino a forma di ciambella.

Torus2.png

Il toro nella geometria euclidea[modifica | modifica sorgente]

Rappresentazione mediante equazioni parametriche[modifica | modifica sorgente]

Torus 3d.png

Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:

 x(p,t) = (R+r\,\cos p)\cos t
 y(p,t) = (R+r\,\cos p)\sin t
 z(p,t) = r\,\sin p

dove  t, p variano tra 0 e  2\pi ,  R>0 è la distanza dal centro del tubo al centro del toro e  r>0 è il raggio del tubo.

L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse z, è data da:

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2

Proprietà metriche[modifica | modifica sorgente]

L'area esterna ed il volume del toro sono dati rispettivamente da:

A = 2\pi r\ 2\pi R=4\pi^2 Rr,
V = \pi r^2 \ 2\pi R=2\pi^2R r^2.

Topologia del toro[modifica | modifica sorgente]

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Torus cycles.png

Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze S1 × S1. Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in R3 individuano un omeomorfismo con l'insieme S1 × S1.

Fundamental polygon of the torus.svg

Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

Q = [0,1] × [0,1] ⊆ R2

la relazione di equivalenza \sim_T tale che x \sim_T y se e solo se x=y è un unico punto interno oppure x e y sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente Q/\sim_T che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del R2 rispetto al sottogruppo Z2.

Proprietà topologiche[modifica | modifica sorgente]

Suddivisione del toro che richiede 7 colori

Il toro solido[modifica | modifica sorgente]

Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro (toro incluso). Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro inclusa la parte di spazio che la delimita. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto D\times S^1 del disco bidimensionale

D = \{(x,y)\in\R^2\ |\ x^2+y^2\leq 1\}

con la circonferenza S^1. Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è  \mathbb{Z} . Si tratta infine del corpo con manici avente genere uno.

Il toro solido è un oggetto importante nello studio delle 3-varietà e più in generale nella topologia della dimensione bassa.

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