Spazio paracompatto

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In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La definizione precisa afferma che uno spazio topologico X è paracompatto se ogni ricoprimento aperto di X ammette un raffinamento aperto localmente finito.

Alcuni richiedono in aggiunta che lo spazio sia di Hausdorff.

Definizioni accessorie[modifica | modifica wikitesto]

  • Un ricoprimento di un insieme è una collezione di suoi sottoinsiemi la cui unione è l'intero spazio. Un ricoprimento è aperto se ogni sottoinsieme è aperto nella topologia in questione.
  • Un raffinamento di un ricoprimento è un altro ricoprimento che ha la proprietà che ogni suo insieme è contenuto in qualche insieme del primo ricoprimento.
  • Un ricoprimento è localmente finito se ogni punto ammette un intorno che ha intersezione non vuota con al più un numero finito di insiemi del raffinamento.

Esempi di spazi paracompatti[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Teorema di Dieudonné: Ogni spazio paracompatto è normale.
  • Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
  • Il prodotto topologico di un paracompatto e di un compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).


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