3-varietà irriducibile

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In geometria, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, una 3-varietà irriducibile è una 3-varietà in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta riducibile: questa può essere effettivamente "ridotta" ad una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della somma connessa.

Una 3-varietà è prima se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di irriducibile e prima sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Varietà irriducibile[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà è irriducibile se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà differenziabile connessa M è irriducibile se ogni sottovarietà differenziabile S omeomorfa ad una sfera è bordo S=\partial D di un sottoinsieme D omeomorfo alla palla chiusa

D^3 = \{x\in\R^3\ |\ |x|\leq 1\}.

L'ipotesi di differenziabilità per M non è importante, perché ogni 3-varietà topologica ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia liscia (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: la sfera deve avere infatti un intorno tubolare.

Una 3-varietà non irriducibile è riducibile.

Varietà prima[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà connessa M è prima se non è ottenibile come somma connessa

M=N_1\# N_2

di due varietà entrambe distinte da S^3 (o, analogamente, entrambe distinte da M).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio euclideo tridimensionale  \R^3 è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.

D'altra parte, la sfera di Alexander è una sfera in \R^3 non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.

Sfera, spazi lenticolari[modifica | modifica wikitesto]

La sfera S^3 è irriducibile. Lo spazio prodotto S^2\times S^1 non è irriducibile: infatti la sfera S^2\times \{pt\} (dove 'pt' è un qualsiasi punto di S^1) ha complementare connesso, e quindi non può essere bordo di una palla.

Uno spazio lenticolare L(p,q) con p\neq 0 (distinto quindi da S^2\times S^1 ) è irriducibile.

Varietà prime e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto S^2\times S^1 ed il fibrato non orientabile di sfere su S^1 sono entrambe prime ma non irriducibili.

Da irriducibile a prima[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà irriducibile M è effettivamente prima. Infatti, se

M=N_1\#N_2,

la M è ottenuta rimuovendo due palle da N_1 e N_2, e quindi incollando le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera S in M. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, N_1 oppure N_2 è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad S^3: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà M è prima.

Da prima a irriducibile[modifica | modifica wikitesto]

Sia M una varietà prima. Sia S una sfera in essa contenuta. Tagliando lungo S si può ottenere una sola varietà  N oppure due varietà M_1 e M_2. Nel secondo caso, incollando due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà N_1 e N_2 tali che

M = N_1\#N_2.

Poiché M è prima, una delle due, ad esempio N_1, è S^3. Quindi M_1 è S^3 meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera S quindi borda una palla: la varietà M è quindi irriducibile.

Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo S si ottiene un pezzo solo N. Esiste quindi una curva semplice chiusa \gamma in M intersecante S in un punto solo. Sia  R l'unione di due intorni tubolari di S e \gamma . Il bordo \partial R risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, ed una analisi attenta porta a verificare che si tratta di S^2\times S^1 oppure dell'altro fibrato non orientabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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