Topologia finale

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In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato un insieme X e una famiglia di spazi topologici Y_i in cui sono definite le funzioni f_i : Y_i \to X, la topologia finale \tau su X è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

f_i: Y_i \to (X,\tau)

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme U \subset X è aperto se e solo se f_i^{-1}(U) è aperto in Y_i per ogni indice i.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di X è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a f_i è rispettivamente aperta o chiusa in Y_i per ogni indice i.

La topologia finale su X può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione g : Y \to Z è continua se e solo se g \circ f_i è continua per ogni indice i. Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue f_i : Y_i \to X, esiste un'unica funzione continua:

f\colon \coprod_i Y_i \to X

Se la famiglia di funzioni f_i ricopre X (ovvero ogni x \in X è nell'immagine di qualche f_i) allora f è una mappa quoziente se e solo se X possiede la topologia finale determinata dalle mappe f_i.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 111

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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