Spazio di Cantor

In topologia, uno spazio di Cantor è uno spazio topologico omeomorfo all'insieme di Cantor; gli spazi di Cantor costituiscono pertanto una generalizzazione delle proprietà topologiche dell'insieme di Cantor stesso.

Il modello canonico utilizzato per la descrizione degli spazi di Cantor è il prodotto topologico di una quantità numerabile di copie dello spazio discreto a due elementi:

$\prod_{n \in \mathbb{N}} \{ 0, 1 \}$.

Tale spazio è usualmente indicato con $\mathbf{2}^\mathbb{N}$ o $\mathbf{2}^\omega$, e viene utilizzato come modello degli spazi di Cantor perché da esso è semplice dedurre le proprietà topologiche degli spazi stessi. Un elemento di $\mathbf{2}^\mathbb{N}$ si può identificare come una sequenza binaria infinita, ovvero una sequenza senza termine

$a = a_1 a_2 a_3 \ldots$,

in cui ciascuna cifra $a_i$ assume i valori 0 o 1.

Data una sequenza $a$, la funzione

$f(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2 a_n}{3^n}$

è un omeomorfismo tra l'insieme di Cantor e l'insieme $\mathbf{2}^\mathbb{N}$.

Caratterizzazione degli spazi di Cantor

Uno spazio topologico è di Cantor se e solo se possiede le seguenti proprietà:

• non è vuoto;
• è perfetto (ovvero ogni suo punto è punto di accumulazione, o equivalentemente non possiede punti isolati);
• è compatto;
• è totalmente sconnesso, ovvero ogni suo punto e un insieme chiuso-aperto e costituisce una componente connessa;
• è metrizzabile.

Questa caratterizzazione è conseguenza diretta del seguente teorema (dovuto a Brouwer), secondo cui due spazi di Hausdorff compatti, perfetti e dotati di una base numerabile costituita da chiusi-aperti sono omeomorfi tra di loro. Le proprietà sopra indicate sono facilmente verificabili per l'insieme di Cantor.

Da questa caratterizzazione discendono immediatamente alcune proprietà; ad esempio, gli spazi di Cantor hanno tutti la cardinalità del continuo; inoltre, il prodotto cartesiano di una quantità numerabile di spazi di Cantor è ancora uno spazio di Cantor. Utilizzando quest'ultima proprietà e la funzione di Cantor è possibile costruire le curve di Peano.

Spazi metrici e spazi di Cantor

Ogni spazio metrico completo e perfetto possiede degli spazi di Cantor come sottospazi; infatti, in questi spazi ogni insieme non vuoto e perfetto contiene almeno due sottoinsiemi perfetti disgiunti, di diametro piccolo a piacere, per cui è possibile ripetere una costruzione analoga a quella dell'insieme di Cantor.

Bibliografia

• Alexander Kechris, Classical Descriptive Set Theory (in inglese), Springer, 1995. ISBN 0-387-94374-9

Voci correlate

• Georg Cantor
• Polvere di Cantor

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