Spazio di Cantor

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In topologia, uno spazio di Cantor è uno spazio topologico omeomorfo all'insieme di Cantor; gli spazi di Cantor costituiscono pertanto una generalizzazione delle proprietà topologiche dell'insieme di Cantor stesso.

Il modello canonico utilizzato per la descrizione degli spazi di Cantor è il prodotto topologico di una quantità numerabile di copie dello spazio discreto a due elementi:

\prod_{n \in \mathbb{N}} \{ 0, 1 \}.

Tale spazio è usualmente indicato con \mathbf{2}^\mathbb{N} o \mathbf{2}^\omega, e viene utilizzato come modello degli spazi di Cantor perché da esso è semplice dedurre le proprietà topologiche degli spazi stessi. Un elemento di \mathbf{2}^\mathbb{N} si può identificare come una sequenza binaria infinita, ovvero una sequenza senza termine

a = a_1 a_2 a_3 \ldots,

in cui ciascuna cifra a_i assume i valori 0 o 1.

Data una sequenza a, la funzione

f(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2 a_n}{3^n}

è un omeomorfismo tra l'insieme di Cantor e l'insieme \mathbf{2}^\mathbb{N}.

Caratterizzazione degli spazi di Cantor[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio topologico è di Cantor se e solo se possiede le seguenti proprietà:

Questa caratterizzazione è conseguenza diretta del seguente teorema (dovuto a Brouwer), secondo cui due spazi di Hausdorff compatti, perfetti e dotati di una base numerabile costituita da chiusi-aperti sono omeomorfi tra di loro. Le proprietà sopra indicate sono facilmente verificabili per l'insieme di Cantor[1].

Da questa caratterizzazione discendono immediatamente alcune proprietà; ad esempio, gli spazi di Cantor hanno tutti la cardinalità del continuo; inoltre, il prodotto cartesiano di una quantità numerabile di spazi di Cantor è ancora uno spazio di Cantor. Utilizzando quest'ultima proprietà e la funzione di Cantor è possibile costruire le curve di Peano.

Spazi metrici e spazi di Cantor[modifica | modifica wikitesto]

Ogni spazio metrico completo e perfetto possiede degli spazi di Cantor come sottospazi; infatti, in questi spazi ogni insieme non vuoto e perfetto contiene almeno due sottoinsiemi perfetti disgiunti, di diametro piccolo a piacere, per cui è possibile ripetere una costruzione analoga a quella dell'insieme di Cantor.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Vedere la voce relativa per la dimostrazione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Alexander Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer, 1995, ISBN 0-387-94374-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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