Omotopia

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Illustrazione di una omotopia H fra due curve, \gamma_{0} e \gamma_{1}

In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico X ad un altro Y sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due può essere "deformata con continuità" nell'altra, e tale trasformazione è detta omotopia fra le due funzioni.

Un uso importante dell'omotopia è nella definizione dei gruppi di omotopia (il più importante fra questi è il gruppo fondamentale), invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali "il numero di buchi" di uno spazio. L'omotopia definisce una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue da X ad Y.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Un'omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Formalmente, un'omotopia fra due funzioni continue f e g da uno spazio topologico X a uno spazio topologico Y è una funzione continua H\colon X \times [0,1] \to Y dal prodotto dello spazio X con l'intervallo unitario [0,1] a Y tale che, per tutti i punti x in X, H(x,0)=f(x) e H(x,1)=g(x).

Se pensiamo al secondo parametro di H come il "tempo", allora H descrive una "deformazione continua" di f in g: al tempo 0 abbiamo la funzione f, al tempo 1 abbiamo la funzione g.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Due funzioni continue f, g \colon \R^n \to \R^m qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

G\colon \R^n \times [0,1] \to \R^m
G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni f,g \colon X \to \R^m definite su uno spazio topologico X arbitrario. Notiamo che, anche se f e g sono iniettive, la "deformazione al tempo t" data da tf(x)+(1-t)g(x) può non essere iniettiva.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Relazione di equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da X a Y. Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se f_1, g_1 \colon X \to Y sono omotope, e f_2,g_2 \colon Y \to Z sono omotope, allora anche le loro composizioni f_2 \circ f_1\colon X \to Z e g_2 \circ g_1 \colon X \to Z sono omotope.

Una funzione f \colon X \to Y è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se Y è connesso per archi, le funzioni costanti da X in Y sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi X per cui ogni funzione continua f\colon X \to X è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo.

Uno spazio X è contrattile se e solo se la applicazione identica da X in sé è omotopicamente nulla.

Spazi omotopicamente equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

Dati due spazi X e Y, diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni f \colon X \to Y e g \colon Y \to X tali che g \circ f è omotopa alla funzione identità \mathrm{id}_X su X e f \circ g è omotopa alla funzione identità \mathrm{id}_Y su Y. Le applicazioni f e g sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio X è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico P fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi X e Y sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre \R^2 \setminus \{(0,0)\} è omotopicamente equivalente alla circonferenza S^1.

Uno spazio omotopicamente equivalente al punto è detto contrattile o contraibile. Esempi di spazi contraibili sono la palla n-dimensionale e \R^n, per qualsiasi n. Un altro esempio è la superficie dell'ipersfera S^n per n dispari, che possiede una caratteristica di Eulero \chi = 0, pari a quella del punto (per n pari, la caratteristica vale 2, come quella della superficie sferica).

Proprietà invarianti per omotopia[modifica | modifica wikitesto]

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se X e Y sono omotopicamente equivalenti, allora

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la sfera S^n è semplicemente connessa e non contraibile, per ogni n pari maggiore di zero.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi X e Y omotopicamente equivalenti dove:

Categoria delle omotopie e invarianti per omotopie[modifica | modifica wikitesto]

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici X e Y sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

Omotopia relativa[modifica | modifica wikitesto]

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se f e g sono applicazioni continue da X a Y e K è un sottoinsieme di X, allora diciamo che f e g sono omotope relativamente a K se esiste una omotopia H \colon X \times [0,1] \to Y tra f e g tale che H(k,t)=f(k)=g(k) per ogni k \in K e <\math>t \in [0,1]</math>.

Isotopia[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui le due funzioni continue date f e g dallo spazio topologico X allo spazio topologico Y siano un omeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da X alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse 'attraverso omeomorfismi con l'immagine'. Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia H (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni t fissato, H(x,t) è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

  • l'applicazione dal disco unitario in \R^2 definita da f(x,y)=(-x,-y), che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo \alpha con \alpha che varia da 0 gradi a 180
  • l'applicazione dall'intervallo [-1,1] in \R definita da f(x)=-x non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in \R sono omotope, perché \R è contrattile)
  • In generale, l'applicazione dalla palla in \R^n definita da f(v)=-v è isotopa all'identità se e solo se n è pari: questo perché per n dispari tale mappa cambia l'orientazione della palla.

Isotopia ambiente[modifica | modifica wikitesto]

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico X è una isotopia fra la funzione identità \mathrm{id}\colon X \to X ed un altro omeomorfismo f \colon X \to X.

L'isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi K_1 e K_2 in uno spazio a tre dimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità \mathrm{id} \colon \R^3 \to \R^3 ed un omeomorfismo f \colon \R^3 \to \R^3 che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che f(K_1)=K_2.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica