Convergenza

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In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito.

Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Limite di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite (matematica).

Data una funzione continua f, si dice che f(x) converge (o tende) al limite finito l per x che tende ad x_0 se per ogni \varepsilon >0 esiste un \delta \varepsilon >0 tale che per ogni x che soddisfa 0<|x-x_0|<\delta \varepsilon si ha che | f(x)-l|<\varepsilon. Ovvero:

\lim_{x \to x_0}f(x) = l

Analogamente, si dice che f(x) converge al limite finito l per x che tende a infinito se per ogni \varepsilon >0 esiste un K \varepsilon >0 tale che per ogni x soddisfacente la condizione | x | > K \varepsilon si ha che | f(x)-l|<\varepsilon. Ovvero:

\lim_{x \to \infty}f(x) = l

Convergenza di una successione in una dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite di una successione.

La convergenza di una successione numerica \{a_{n}\} di numeri reali si verifica quando per n \to \infty, a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione \{a_{n}\} converge al numero a per n \to \infty, e si scrive \lim_{n \to \infty} a_{n} = a, se \forall \varepsilon >0 esiste un indice naturale N(\varepsilon), in generale dipendente da \varepsilon, tale che la \|a_{n} - a\| < \varepsilon per ogni n > N(\varepsilon).

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da n > N, siano contenuti nell'intorno a - \varepsilon < a_{n} < a + \varepsilon. Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Serie, Serie convergente e Criteri di convergenza.

Si consideri una successione di elementi \{a_n \}. Si definisce serie associata ad \{a_n \} la somma:

\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots .

Per ogni indice k della successione, si definisce serie delle somme parziali \{S_k\} associata a \{a_n\} la somma dei termini della successione \{a_n\} da a_0 a a_k:

S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k

Si dice che la serie \sum_{n=0}^{\infty} a_n è convergente al limite L se la relativa successione delle somme parziali S_k converge a L. Ovvero, si verifica che:

L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n

se e solo se:

L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite di una funzione e Limite di funzioni a più variabili.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni f(x). Data una successione di numeri reali \{x_{n}\} che converge a un certo limite \xi per n \to \infty, si ha:

\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \lim_{x \to \xi} f(x) = \eta

In modo equivalente, per ogni \varepsilon >0 esiste un intorno \delta (\varepsilon) > 0, in generale dipendente da \varepsilon, tale che:

\| f(x) - \eta \| < \varepsilon

qualora si verifichi:

\| x - \xi \| < \delta

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di x, allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

\eta - \varepsilon < f(x) < \eta + \varepsilon

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere una funzione f(x) tale che f( \alpha )=0 con α appartenente a un certo intervallo J. Si può porre:

x=x-g(x) f(x)= \phi (x) \qquad g(x) \ne 0 \quad \forall x\in J

Si ha dunque:

 \phi(\alpha)= \alpha

Se esiste \delta >\ 0 tale che:

 [\alpha - \delta,  \alpha + \delta]=J \

e se esiste k \in(0,1) tale che:

 \forall x \in J, |\phi'(x)| \le k

allora si ha:

  • Se  x_0 \in J allora:
 x_i = \phi ( x_{i-1}) \quad i=1,2,3,\dots

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Premesso che:

 x_0 \in J \qquad |x_0 - \alpha| \le \delta \qquad \xi \in J

si ha:

\alpha| \le |x_0- \alpha|

Oltre ad avere:

 x_1 \in (x_0, \alpha)

si verifica che:

 x_i \in (x_{i-1}, \alpha) \quad i \in \N

Si ottiene:

 |x_i - \alpha| = |\phi (x_{i-1}) - \phi (\alpha)|= | \phi'(\xi) (x_{i-1}- \alpha)| \le k |x_0- \alpha| \le k^2 |x_{i-2}- \alpha| \le .... \le k^i |x_0- \alpha|

Poiché  k^i tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

 |\beta - \alpha|= |\phi (\beta) - \phi(\alpha)|=|\phi(\xi) (\beta - \alpha)| \le k |\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha|

Il fatto che:

 |\beta - \alpha| \le |\beta - \alpha|

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Successione di funzioni e Serie di funzioni.

Per le successioni \{f_n(x)\}_n vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale:
\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)
  • La convergenza uniforme:
\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_{\infty}=0

Per le serie di funzioni \sum f_n(x) vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x_0) converge per ogni x_0.
  • La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
  • La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica \sum_{n=0}^{\infty} M_n convergente tale che:
|f_n(x)| \leq M_n \
per ogni x e n.

Convergenza di variabili casuali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Convergenza di variabili casuali.

Data una successione di variabili casuali \{X_n\}_n, vi sono più tipi di convergenza:

  • La convergenza in distribuzione:
\lim_{n \to \infty} F_n(x)=F(x)
dove F_n e F sono le funzioni di ripartizione delle X_n e del limite X rispettivamente.
  • La convergenza in probabilità:
\lim_{n \to \infty} P(|X_n-X|<\varepsilon)=1
  • La convergenza quasi certa:
\lim_{n \to \infty} X_n=X
  • La convergenza in media r-esima:
\lim_{n \to \infty}E|X_n-X|^r=0 \qquad E|X_n|^r<\infty \quad \forall n

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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