Numero di Betti

In topologia algebrica, il numero di Betti di uno spazio topologico è, in termini intuitivi, un modo di contare il massimo numero di tagli che possono essere eseguiti senza dividere uno spazio in due pezzi. Questo definisce, in effetti, quello che è chiamato il primo numero di Betti. Esiste definita una sequenza di numeri di Betti.

Ogni numero di Betti è o un numero naturale o infinito.

Il termine "numeri di Betti" fu coniato da Henri Poincaré in riferimento a Enrico Betti.

Definizione

Il $k$-esimo numero di Betti $b_{k} (X)$ dello spazio $X$ è definito come il rango del gruppo abeliano $H_{k}(X)$, il $k$-esimo gruppo di omologia di $X$.

Proprietà

I numeri di Betti (razionali) $b_{k}(X)$ non tengono conto della torsione dei gruppi di omologia, ma sono invarianti topologici basilari molto utili. Nei termini più intuitivi, permettono di contare il numero di buchi in diverse dimensioni. Per un cerchio, il primo numero di Betti è 1. Per un generico pretzel il primo numero di Betti è il doppio del numero dei buchi.

Esempi

1. La sequenza di numeri di Betti per un cerchio è 1, 1, 0, 0, 0, ...;
2. La sequenza di numeri di Betti per un due-toro è 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...;
3. La sequenza di numeri di Betti per un tre-toro è 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...;

In effetti, per un n-toro ci si può aspettare di veder comparire i coefficienti binomiali. Questo è il caso del teorema di Künneth.

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