Topologia iniziale

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In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.

La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia dato un insieme X ed una famiglia (Y_i)_{i\in I} di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni f_i: X \to Y_i che ha per dominio l'insieme X. Si definisce topologia iniziale \tau su X rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni f_i: (X,\tau) \to Y_i sono continue.[1]

La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma f_i^{-1}(U), dove U è un insieme aperto di Y_i.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Characteristic property of the initial topology

La topologia iniziale su X può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione g : Z \to X è continua se e solo se f_i \circ g è continua per ogni i \in I.

Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue f_i: X \to Y_i definisce un'unica mappa:

f\colon X \to \prod_i Y_i\,

detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni \{ f_i : X \to Y_i \} separa i punti in X se per ogni x \ne y \in X esiste un indice i tale che f_i(x) \ne f_i(y). Questo avviene se e solo se f è iniettiva. La funzione f è un'immersione topologica se e solo se X ha la topologia iniziale definita dalle funzioni \{ f_i \}, e tale famiglia di mappe separa i punti in X.

Se in uno spazio X è definita una topologia è spesso utile sapere se si stratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su X. Una famiglia di funzioni \{ f_i : X \to Y_i \} separa i punti dai chiusi in X se per ogni insieme chiuso A \subset X e per ogni x che non appartiene ad A esiste un indice i tale per cui:

f_i(x)\notin \operatorname{cl}(f_i(A))

dove \operatorname{cl} è l'operatore di chiusura.

In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue \{ f_i : X \to Y_i \} separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi f_i^{-1}(U), con U \subset Y_i aperto, formano una base per la topologia su X. Segue che se \{ f_i \} separano i punti dai chiusi allora lo spazio X ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi f_i^{-1}(U) formano una sottobase per la topologia iniziale.

Se X è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe \{ f_i \} che separa i punti dai chiusi in X deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

Topologia debole in spazi vettoriali topologici[modifica | modifica sorgente]

Sia K un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia X uno spazio vettoriale topologico su K, ovvero uno spazio vettoriale su K con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.

Si possono definire diverse topologie su X utilizzando lo spazio duale continuo X^*, composto da tutti i funzionali lineari su X (a valori in K) continui rispetto la topologia data. La topologia debole su X è la topologia iniziale rispetto a X^*. Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X* è una funzione continua.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Reed, Simon, op. cit., Pag. 111

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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