Teorema di Borsuk-Ulam

Il teorema di Borsuk-Ulam è un teorema di topologia. Asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda almeno una coppia di punti antipodali sullo stesso punto.

Il teorema è valido in tutte le dimensioni. In particolare, il caso $n=2$ è spesso descritto nel modo seguente: in qualsiasi momento, esistono sulla Terra due punti antipodali aventi la stessa temperatura e la stessa pressione atmosferica (quantità che si suppongono variare con continuità sulla superficie terrestre).

Il teorema di Borsuk–Ulam fu congetturato inizialmente da Stanislaw Ulam, e quindi dimostrato da Karol Borsuk nel 1933.

Il teorema

Il teorema di Borsuk-Ulam dice che per ogni funzione $f$ continua di una n-sfera in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni, esistono due punti $a$ e $b$ diametralmente opposti tali che:

$f(a) = f(b) \,$

Corollari

• Per il teorema di Borsuk-Ulam, la sfera S^m non è immergibile in R^m. Cioè, nessun sottoinsieme di R^m è omeomorfo a S^m.
• Il teorema del punto fisso di Brouwer può essere dimostrato come corollario.
• Il teorema del panino al prosciutto.

Voci correlate

• Karol Borsuk
• Stanislaw Ulam

Bibliografia

• K. Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, Fund. Math., 20 (1933), 177-190.

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