Fibrato

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Un spazzola cilindrica illustra intuitivamente il concetto di fibrato. La spazzola rappresenta un fibrato dove la base è un cilindro e le fibre (setole) sono i segmenti. L'applicazione \scriptstyle{\pi\colon E \to B} manda un punto di ogni setola nel punto del cilindro dove la setola è attaccata.

In matematica, e più precisamente in topologia, un fibrato è una particolare funzione

\pi:E\to B\,\!

che si comporta localmente come la proiezione di un prodotto su un fattore.

I fibrati sono utili in topologia differenziale e in topologia algebrica. Un esempio importante di fibrato è il fibrato tangente. Sono anche uno strumento importante nella teoria di gauge.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un fibrato è una funzione suriettiva continua fra spazi topologici

\pi:E\to B\,\!

che è localmente un prodotto. Più precisamente, fissato uno spazio topologico \scriptstyle{F}\,, ogni punto \scriptstyle{x}\, di \scriptstyle{B}\, possiede un intorno aperto \scriptstyle{U}\, tale che la controimmagine \scriptstyle{\pi^{-1}(U)}\, è omeomorfa al prodotto \scriptstyle{U\times F}\,, e la \scriptstyle{\pi}\, letta su questo prodotto è la proiezione sul primo fattore. In altre parole, il seguente diagramma commuta:

Local triviality condition

dove \scriptstyle{{\mathrm {proj}}_1 \colon U\times F \to U}\, è la naturale proiezione sul primo fattore e \scriptstyle{\phi \colon \pi^{-1}(U)\to U\times F}\, è un omeomorfismo. L'insieme di tutti gli omeomorfismi \scriptstyle{\{(U_i,\phi_i)\}} si dice trivializzazione locale del fibrato.

Lo spazio \scriptstyle{B}\, è la base, \scriptstyle{F}\, è la fibra, \scriptstyle{E}\, è lo spazio totale e \scriptstyle{\pi}\, la proiezione. Il fibrato è a volte denotato nel modo seguente:

F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B

Un fibrato è differenziabile (o liscio) se è definito nella categoria delle varietà differenziabili: \scriptstyle{E, B}\, e \scriptstyle{F}\, in questo caso sono varietà differenziabili e le \scriptstyle{\pi, \phi}\, sono funzioni differenziabili.[1] In particolare, ogni fibrato differenziabile è una varietà fibrata.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto topologico \scriptstyle{E = B\times F}\, di due spazi è, con la proiezione sul primo fattore, un fibrato sopra la base \scriptstyle{B}\, a fibra F. Un tale fibrato è detto banale (o triviale). Si dimostra che ogni fibrato sopra uno spazio cellulare contrattile è banale.

Nastro di Möbius[modifica | modifica wikitesto]

Il nastro di Möbius è un fibrato non banale sulla circonferenza.

Il nastro di Möbius è forse l'esempio più semplice di fibrato non banale. La base \scriptstyle{B}\, consiste in una circonferenza, e la fibra \scriptstyle{F}\, è un segmento. Dato \scriptstyle{x}\, in \scriptstyle{B}\,, un piccolo arco \scriptstyle{U}\, della circonferenza contenente \scriptstyle{x}\, ha effettivamente come controimmagine un rettangolo \scriptstyle{U\times F}\,. Globalmente, il nastro di Möbius non è però un prodotto \scriptstyle{B\times F}\,: un tale prodotto sarebbe infatti una corona circolare.

Toro e bottiglia di Klein[modifica | modifica wikitesto]

Un toro.
La bottiglia di Klein immersa nello spazio tridimensionale.

Analogamente, il toro è un prodotto S^1\times S^1 fra due circonferenze S^1, mentre la bottiglia di Klein è un altro fibrato, avente sempre base S^1 e fibra S^1.

Rivestimenti[modifica | modifica wikitesto]

Un rivestimento è un fibrato in cui la proiezione è un omeomorfismo locale. In particolare, la fibra è un insieme discreto di punti.

Fibrati vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Fibrato vettoriale.

Un fibrato vettoriale è un fibrato la cui fibra F è uno spazio vettoriale. I fibrati vettoriali occupano un ruolo centrale in topologia e in geometria algebrica. L'esempio più importante di fibrato vettoriale è il fibrato tangente.

Fibrazione di Hopf[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Fibrazione di Hopf.

La fibrazione di Hopf è un particolare fibrato fra sfere f:S^3\to S^2 avente come fibra S^1.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Mappa aperta[modifica | modifica wikitesto]

La proiezione \pi è sempre una funzione aperta.

Sezioni[modifica | modifica wikitesto]

Una sezione di un fibrato è una funzione continua

s:B\to E\,\!

tale che \pi(s(x)) = x per ogni x in B. Ad esempio, in un fibrato banale E = F\times B , preso un punto y_0 in F, si può definire la sezione

s(x) = (y_0,x).

Un generico fibrato può o non può ammettere sezioni. L'esistenza di una sezione conduce alla definizione delle classi caratteristiche.

Alcuni oggetti matematici e fisici comunemente usati possono essere definiti come sezioni di un particolare fibrato. Ad esempio, un campo vettoriale è una particolare sezione del fibrato tangente. Una forma differenziale o un più generico campo tensoriale (ad esempio, il tensore di Riemann) sono anch'essi interpretabili come sezioni di particolari fibrati.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993, pp. 76-77.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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