Successione (matematica)

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In analisi matematica, una successione o sequenza infinita o stringa infinita può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da una infinità numerabile di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-esimo termine per ogni numero naturale n.

A differenza di quanto avviene per gli insiemi numerabili, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte: diversi termini possono coincidere. Tali caratteristiche sono molto simili a quelle che distinguono una n-upla ordinata da un insieme costituito da n elementi; in effetti una successione può anche essere considerata l'estensione infinita di una n-upla ordinata.

Le successioni sono utilizzate nel calcolo infinitesimale, che fa ampio uso del concetto di limite di una successione. Esse hanno un ruolo fondamentale nella definizione dell'insieme dei numeri reali e in tutta l'analisi matematica, in quanto rappresentano una base dello studio delle funzioni nel campo reale: infatti, essendo il loro dominio \N dei numeri naturali sottoinsieme di \R (si può facilmente pensare che esse siano rappresentate in un grafico \N X \R), risulta più semplice operare su di esso per eseguire una qualunque operazione, anziché ragionare subito in termini di numeri reali, che, per sua definizione, è un insieme denso.

Individuazione delle successioni[modifica | modifica sorgente]

Per quanto riguarda la presentazione delle successioni occorre distinguere quelle considerate in discorsi generali riconducibili ad una impostazione assiomatica dalle successioni specifiche ossia calcolabili.

Poiché i termini di una successione sono infiniti, essi non possono essere scritti tutti in modo esplicito. Di conseguenza per rappresentare una successione ci si limita a scrivere alcuni termini iniziali seguiti da puntini di sospensione, dall'indicazione del termine generico e da puntini finali, così:

a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots

Normalmente si rende necessario delimitare i termini di una successione, e lo si fa per mezzo di parentesi. Dal momento che nel caso finito la differenza fra una n-pla ordinata e un insieme viene evidenziata usando per la n-pla le parentesi tonde (oppure le angolate) e per l'insieme le parentesi graffe, anche nel caso infinito appare utile usare le parentesi tonde (oppure le angolate) per delimitare una successione. Tale consuetudine tuttavia non si è del tutto imposta nella letteratura matematica, dove per tradizione anche le successioni sono delimitate con le graffe, sebbene tale notazione generi facile confusione. Entrambe le notazioni:

\{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\}     oppure     (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots)

si possono rendere in modo più sintetico indicando il solo termine generico a_n e l'insieme in cui varia n: \{a_n\}_{n \in \N} o (a_n)_{n \in \N}.

Le precedenti indicazioni sono sufficienti per introdurre una generica, non precisata, successione sulla quale svolgere considerazioni generali. Nel caso di una successione specifica, da usare per soluzioni concrete, si deve dare una indicazione utilizzabile per il termine generico. In generale questa può essere data mediante un algoritmo. In casi tendenzialmente semplici si riesce a dare una espressione che dipende da n, oppure che dipende da alcuni termini precedenti della successione. Ad esempio la successione dei numeri pari si scrive così:

0, 2, 4, \cdots, 2n, \cdots := (2n)_{n \in \N}.

La successione i cui termini dal terzo in poi si ottengono sommando i due precedenti (detta successione di Fibonacci) si può scrivere così:

(0, 1, \cdots, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, \cdots)

Una espressione un po' più elaborata si trova per i numeri di Catalan, la cui successione può essere espressa mediante la relazione di ricorrenza di Segner nel modo seguente:

(1, \cdots, C_n=\sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}, \cdots)

In questi modi si ottengono tutte le informazioni necessarie a calcolare quanti si vogliano termini della successione. Infatti:

  • se l' n-mo termine a_n è espresso in dipendenza di n, quella dipendenza definisce direttamente una funzione che al generico intero n associa il termine n-mo;
  • se invece l' n-mo termine a_n è espresso in dipendenza di alcuni termini precedenti della successione, e se sono dati i valori di un numero sufficiente di termini iniziali, allora la funzione che associa a_n a n resta definita implicitamente da una relazione di ricorrenza.

Comunque sia, per definire in modo esauriente una successione calcolabile occorre poter determinare a_n per ogni n, sicché in definitiva bisogna disporre - in qualche modo - di tutte le informazioni necessarie a definire in modo univoco una funzione f tale che a_n=f(n). E poiché ad ogni successione di termini resta associata una e una sola funzione siffatta, si può anche identificare la successione con la funzione stessa. Questo è effettivamente ciò che si fa nella definizione formale, per cui il termine 'successione' può riferirsi sia alla successione dei termini sia alla funzione che genera la successione dei termini.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Formalmente, una successione di elementi di un dato insieme A è un'applicazione dall'insieme \N dei numeri naturali in A:

f:\mathbb{N}\to A

L'elemento a_n della successione è quindi l'immagine:

a_n = f(n) \

del numero n secondo la funzione f. L'insieme A può essere, ad esempio, l'insieme dei numeri reali.

Tra le successioni più utilizzate in matematica vi sono le successioni costituite da semplici numeri reali o complessi, dette successioni numeriche, o costituita da funzioni, dette successione di funzioni. Si utilizzano inoltre successioni composte da altri oggetti matematici, come matrici (le matrici identità di dimensione n \times n), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari) o di strutture (gruppi ciclici di ordini successivi, spazi vettoriali \R^n).

Limite di una successione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Limite di una successione.

Sia T uno spazio topologico. Un elemento l \in T è detto limite di una successione x_n se e solo se per ogni intorno S di L esiste un numero naturale N tale che:

x_n \in S \quad \forall n \in \N

Se T è uno spazio di Hausdorff, allora ogni successione ammette al massimo un unico limite L. Se tale limite esiste, può essere scritto nel seguente modo:

\lim_{n \to \infty} x_n = L

Considerando il limite di una successione numerica (a_n)_{n\in {\mathbb N}}, si possono suddividere le successioni in tre categorie:

  • Una successione è detta convergente se:
 \exists l \in \mathbb R\, \lim_{n\to\infty} a_n= l
  • Una successione è detta divergente se:
\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty
  • Una successione è detta irregolare o indeterminata se:
\not\exists \lim_{n\to\infty} a_n .

L'esempio più semplice di successione convergente è una successione costante, cioè una successione in cui an=k per ogni n; un altro esempio è la successione 1/n, che tende a 0.

Una semplice successione divergente è an=n, o più in generale qualsiasi successione i cui termini siano i valori di un polinomio P(x), ovvero in cui an=P(n).

Una successione indeterminata "classica" è la successione an=(-1)n: essa "salta" continuamente da -1 a +1 e viceversa, senza stabilizzarsi verso nessun valore. Altri esempi più sofisticati sono la successione an=sen n, come molte successioni derivanti da funzioni aritmetiche, come a_n=\sigma(n), dove si è usata la funzione sigma.

Esistono anche definizioni alternative di limiti per le successioni indeterminate, ad esempio la convergenza in media. Altri procedimenti di questo genere sono la sommazione di Hölder di un dato rango, sommazione di Cesàro di un dato rango).

Successione di funzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Successione di funzioni.

Dato un insieme F di funzioni tra due insiemi fissati X e Y, una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri naturali in F, che associa ad ogni numero naturale n una funzione f_n. La successione è usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti:

\{f_n\}_{n\in\mathbb N}, \quad (f_n)_{n\in\mathbb N}

Il secondo simbolismo è più corretto in quanto evidenzia il fatto che la nozione di successione generalizza quella di ennupla ordinata.

È importante osservare che nella definizione, così come nell'enunciazione di molti teoremi e proprietà, non è necessario supporre che il dominio delle funzioni sia un insieme strutturato. Solo dove richiesto esso sarà da intendersi, a seconda dei casi, uno spazio topologico, metrico, etc.

Valori in un punto fissato[modifica | modifica sorgente]

Fissato un elemento x_0 nel dominio  X, la successione:

(f_n(x_0))_{n\in\mathbb N}

dei valori assunti dalle funzioni in x_0 è una successione di elementi del codominio Y. Quando Y è un insieme numerico, come ad esempio l'insieme dei numeri reali, questa è una successione numerica.

Problemi teorici e filosofici[modifica | modifica sorgente]

In matematica il concetto di successione è uno di quei concetti fondamentali che, come anche quello di insieme e di funzione, sembrano facilmente acquisibili a livello intuitivo, e allo stesso tempo dimostrano di essere difficilmente riconducibili ad altri concetti, sicché quando non li si voglia considerare noti e acquisiti intuitivamente ci si trova a dover affrontare complicati e profondi problemi teorici.

Non è difficile illustrare intuitivamente il concetto di successione. Per farlo è necessario prendere le mosse proprio dal linguaggio comune, nel quale il termine successione o quello equivalente di sequenza vengono utilizzati per riferirsi ad un elenco ordinato di un certo insieme di oggetti, cioè un elenco nel quale sia possibile distinguere un "primo" oggetto, da un "secondo", da un "terzo", eccetera.

Dal momento che si sta facendo riferimento al linguaggio comune, questa successione (o sequenza), intesa come elenco ordinato di oggetti, in generale sarà concepita come costituita da un numero finito di oggetti, sicché a livello intuitivo si partirà dalla acquisizione del concetto di successione (o sequenza) finita. Solo in un secondo momento - preso atto che una successione può essere prolungata a piacere aggiungendo altri oggetti a quelli già disposti in ordine - si perverrà al concetto di successione infinita, che è quella presa in considerazione dalla teoria matematica.

Si osservi che in un elenco ordinato gli oggetti possono essere ripetuti. Ad esempio se si lancia un dado e si scrive la successione dei numeri che escono, si otterrà qualcosa del genere:

(3, 1, 1, 2, 5, 6, 6, 3, 1, 4, 2 ...)

nella quale si ripetono indefinitamente solo i numeri fra 1 e 6.

Questo semplice esempio mostra chiaramente la differenza fra il concetto di successione e quello di insieme. Infatti il concetto di insieme non contempla in alcun modo la nozione di ordine né la presenza di elementi ripetuti (l'insieme costituito da Romeo e Giulietta è lo stesso insieme costituito da Giulietta e Romeo, e l'insieme costituito da Romeo e Romeo è il solo Romeo), per cui l'insieme dei risultati ottenuti lanciando il dado è composto di soli sei elementi

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

e tale rimane anche quando si continui a lanciare il dado indefinitamente, prolungando indefinitamente la successione dei numeri usciti.

In matematica la sequenza ordinata di n oggetti viene anche definita n-pla ordinata, detta anche "tupla" (coppia ordinata, tripla ordinata, ecc.), per cui quella che si è chiamata successione finita può anche essere chiamata n-pla ordinata. Quanto alla successione infinita, si dovrebbe parlare di "infinit-upla ordinata", ma questo appare piuttosto un abuso del linguaggio, sicché il termine "n-pla ordinata" viene riservato al caso finito, mentre di "successione" si parla solitamente nel caso infinito. Ma a prescindere dalla notazione, dovrebbe essere chiaro che il problema che si pone nel definire una successione non è altro che il "passaggio al limite" (per n che tende all'infinito) del problema che si pone nel definire una n-pla ordinata.

Se i concetti introdotti possono apparire chiari a livello intuitivo, e considerati acquisiti sulla scorta di pochi semplici esempi, la cosa si fa più problematica quando si voglia esprimere tutto ciò in modo rigoroso. Qui si aprono due possibilità:

  1. o si dichiara esplicitamente che il concetto di successione (come pure quello "finito" di n-pla ordinata) è un concetto primitivo, che non viene definito e che si assume noto a priori;
  2. o si cerca di ricondurre questi concetti a qualche concetto considerato più fondamentale ed effettivamente primitivo, come potrebbe essere il concetto di insieme o di funzione.

Se si sceglie la prima possibilità in linea di principio non ci sarebbe nulla da dire o da spiegare sul concetto di "successione", e la costruzione di una teoria matematica lo dovrebbe nominare considerandolo già noto, in quanto acquisito o acquisibile al di fuori del dominio della matematica. Se invece si sceglie la seconda possibilità, allora bisogna appunto compiere l'impresa di ricondurre un concetto fondamentale a qualche altro concetto fondamentale.

Nel caso delle successioni si potrebbe prendere le mosse dal caso finito, definendo una n-pla ordinata a partire da qualche concetto fondamentale, come ad esempio quello di insieme, per poi "passare al limite" facendo diventare arbitrariamente grande il numero di oggetti disposti nella sequenza. Tuttavia anche quando si sapesse come ricondurre la definizione di una n-pla ordinata a quella di insieme poi sarebbe tutt'altro che scontata la possibilità di compiere quel "passaggio al limite".

Per questa ragione si preferisce procedere in modo diverso, osservando che se si ha una successione/sequenza ordinata di oggetti, allora - come si è visto - fra tutti quegli oggetti è possibile individuare un "primo", un "secondo", eccetera. Dunque dato un qualunque numero naturale n, la disposizione ordinata consente di dire qual è l'n-esimo termine della successione, il che è come dire che esiste una funzione che ad ogni numero naturale n associa un certo elemento dell'insieme di tutti gli oggetti che possono comparire (eventualmente ripetuti) nella successione. Dunque ad ogni successione (a_1, a_2, a_3 \cdots) di elementi dell'insieme A resta associata in modo univoco la funzione che associa l'n-esimo termine a_n ad n:

f : \N \rightarrow A
f : n \mapsto a_n = f(n)

Il fatto che risulti sufficiente ricondurre ogni successione in A ad una funzione da \N ad A, sembra una soluzione tutto sommato semplice e banale del problema di fornire una definizione rigorosa di successione, che era stato presentato come un problema profondo e difficile. Tuttavia questa soluzione apparentemente così semplice cela a sua volta non poche difficoltà concettuali.

La prima è che intuitivamente per successione si intende proprio la disposizione ordinata di elementi dell'insieme A:

(a_1, a_2, a_3 \cdots)

e non una funzione da \N ad A. I termini a_n infatti sono i valori che la funzione f assume al variare di n, e appartengono al codominio di f. Per altro non si può nemmeno dire che la successione dei termini sia l'immagine dell'insieme di \N tramite f, perché l'immagine di un insieme è un altro insieme, e come tale non contiene informazione sull'ordinamento dei suoi elementi, né contiene elementi ripetuti. Dunque se si associa una funzione f a una successione, occorre poi definire ciò che intuitivamente noi intendiamo come successione, ovvero la disposizione ordinata dei termini della serie; in generale, si tratterà della famiglia associata alla funzione f.

A parte questo, il fatto di aver ricondotto il concetto fondamentale di successione a quello di funzione pone il problema se questo concetto a sua volta lo si voglia considerare un concetto primitivo o un concetto fondamentale da ricondurre a qualche altro concetto primitivo.

Solitamente in matematica il concetto di funzione viene ricondotto a quello di insieme affermando che una funzione da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A \times B. Ma il prodotto cartesiano A \times B è, per definizione, l'insieme delle coppie ordinate costituite da un elemento di A e un elemento di B, sicché per ricondurre il concetto di funzione a quello di insieme dobbiamo comunque ricondurre la definizione di coppia ordinata a quella di insieme.

Ma a sua volta una coppia ordinata è proprio ciò che abbiamo definito una successione finita, per cui l'aver ricondotto il concetto di successione infinita a quello di funzione serve solo per ricondurre il problema dal caso infinito a quello finito, serve cioè per ricondurre la definizione di successione infinita a quella di successione finita, e anzi alla più piccola delle successioni finite, che è appunto la coppia ordinata. Volendo utilizzare la notazione introdotta fino a qui, possiamo dire che la successione:

(a_1, a_2, a_3 \cdots)

può essere ricondotta al seguente insieme:

\{(1, a_1), (2, a_2), (3, a_3) \cdots \}

il quale è sì un insieme, ma è ancora un insieme di coppie ordinate, cioè di successioni finite di due elementi.

Se si vuole portare fino in fondo il progetto di ricondurre tutti i concetti fondamentali al concetto primitivo di insieme, resta la necessità di definire una coppia ordinata a partire dal concetto di insieme.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

In alcuni casi viene chiamata successione anche una funzione da un insieme numerabile I. La numerabilità garantisce l'esistenza di una corrispondenza biunivoca \psi, \psi:\mathbb{N}\to I con \mathbb{N}, e quindi la funzione composta \phi(\psi) è una successione nel senso della definizione precedente.

Possono avere grande interesse anche le funzioni da \mathbb{Z} (l'insieme dei numeri interi relativi) in A. Questi oggetti vengono indicati con notazioni del tipo

..., a-m, ..., a-1,a0,a1, ... an, ...

e vengono chiamati successioni bilatere.

Si possono poi considerare successioni a 2 indici; queste si possono considerare matrici infinite; possono essere utili anche successioni a 3 o più indici e si può anche considerare l'insieme delle successioni con un numero intero qualsiasi di indici.

Esempi di successioni[modifica | modifica sorgente]

  •  S=N \quad \phi(n)=n^2 \quad \{\phi(n)\}_n=\{0,1,4,9,16,\ldots \}
  •  S=C \quad \phi(n)=i^n \quad \{\phi(n)\}_n=\{1,i,-1,-i,\ldots \}
  •  S=R \quad \phi(n)=\frac{1}{n-1}\quad \{\phi(n)\}_{n\geq 2 }=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots \}
  •  S=R \quad \phi_g(n)=q^n \quad \{\phi_g(n)\}_n=\{1,q,q^2,\ldots \}
  •  S=R \quad \phi(n)=\sum_{i=0}^n \phi_g(n) \quad \{\phi(n)\}=\{1,1+q,1+q+q^2,\ldots \}

l'ultima è la successione delle somme parziali, in particolare di una somma parziale geometrica.

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