Massimo e minimo di una funzione

In questo grafico sono evidenti un massimo e due minimi relativi, di cui uno è anche minimo assoluto.

In matematica si dice che una funzione a valori reali:

$f : D \to \R$

ha in un punto $x_0$ del proprio dominio $D$ un massimo globale (o assoluto) se in $x_0$ assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti di $D$, ovvero

$f(x_0)\geq f(x) \qquad \forall x \in D$.

Viceversa $f$ ha un minimo globale (o assoluto) in un punto $x_0$ di $D$ se

$f(x_0)\leq f(x) \qquad \forall x \in D$

Si dice che una funzione $f$ ha in $x_0$ un massimo locale (o relativo) se $x_0$ appartiene al dominio $D$ di $f$, e inoltre $f(x_0) \ge f(x)$ in un intorno di $x_0$.

$f$ ha invece un minimo locale (o relativo) in $x_0$ se $x_0$ è interno al dominio $D$ di $f$, e inoltre $f(x_0) \le f(x)$ in un intorno di $x_0$.

In tutti questi casi, si parla di $x_0$ come di punto di massimo (o di minimo) assoluto (o relativo).

I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremanti, e i valori assunti dalla funzione in questi punti estremi della funzione.

Massimi e minimi per funzioni derivabili (da R in R)

Derivata prima

Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un punto possa, eventualmente, essere di massimo o di minimo locale è data dal teorema di Fermat, in base al quale la derivata prima di una funzione deve annullarsi se calcolata in corrispondenza di un punto di massimo o minimo locale:

$f \, '(x_0) = 0$

Tale condizione permette di trovare un certo numero di punti (x₀, x₁, ...) che si chiamano punti critici o stazionari. Naturalmente questa condizione vale per tutti i punti interni al dominio di derivabilità, cioè nei punti interni di questo insieme, mentre negli estremi dell'insieme non è detto che la derivata esista e proprio per questo motivo la condizione vale per gli intervalli aperti. Questa condizione si può dimostrare: infatti se $x_0$ è un punto di massimo locale, allora in un intorno $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ di x₀ vale che il rapporto incrementale:

$\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \begin{cases} \le 0 & \forall x_0 < x < x_0+\delta \\ \ge 0 & \forall x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

per cui passando al limite di una funzione per $x \to x_0$ si deduce che necessariamente $f'(x_0) = 0$.

Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto x₀ è orizzontale. Tale condizione non è né necessaria né sufficiente per avere un massimo o un minimo locale: infatti da un lato ci possono essere punti di massimo o minimo locale anche laddove la funzione non è derivabile, e dall'altro ci possono essere punti (di flesso) dove la derivata si annulla ma la funzione non ha massimo o minimo locale.

Possiamo utilizzare la derivata prima per classificare i punti critici. Un punto $x_0$ è di massimo locale per f se nei suoi intorni destro e sinistro:

$f'(x) = \begin{cases} \le 0 & x_0 < x < x_0 + \delta \\ \ge 0 & x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

Viceversa è di minimo locale se:

$f'(x) = \begin{cases} \ge 0 & x_0 < x < x_0 + \delta \\ \le 0 & x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

Se infine il valore della derivata non cambia attraversando il punto $x_0$ allora questo è un punto di flesso ascendente o discendente a seconda che la derivata prima rimanga sempre positiva o sempre negativa.

Derivata seconda

Alternativamente se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, un punto è di massimo o minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla (quindi $x_0$ è un punto stazionario) e la derivata seconda non si annulla. Più precisamente, posto che la derivata prima si annulli, se la derivata seconda risulta essere maggiore di 0, allora significa che la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo. Mentre se la derivata seconda è minore di zero, significa che la concavità è rivolta verso il basso quindi si tratterà di un punto di massimo. Se invece la derivata seconda si annulla, nel caso in cui la derivata terza sia diversa da zero, avremo in quel punto un flesso a tangenza orizzontale ascendente o discendente e, per la definizione di flesso, la funzione cambierà concavità in tale punto.

Funzioni di due o più variabili reali

Nel caso di funzioni in più variabili il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il differenziale (e quindi il gradiente) della funzione. Nel caso di funzioni di 2 variabili, per verificare se il punto è di massimo o minimo si guarda il segno del determinante della matrice Hessiana e il primo termine della matrice:

• primo elemento positivo, determinante positivo (matrice definita positiva): si ha un minimo locale
• primo termine negativo, determinante positivo: si ha un massimo locale.
• determinante negativo, allora il punto si dice punto di sella.
• determinante nullo: bisogna calcolare la positività della funzione.

Nel caso di funzioni di 3 o più variabili invece si deve studiare il segno degli autovalori della matrice hessiana (nei punti critici, cioè dove si annulla il gradiente) e:

• se gli autovalori son maggiori o uguali a zero, il punto che annulla il gradiente è di minimo locale.
• se gli autovalori son minori o uguali a zero tale punto è di massimo locale.
• se gli autovalori cambiano segno il punto è di sella.
• se gli autovalori sono tutti nulli non danno informazioni sulla natura del punto.

In caso di funzioni di due o più variabili la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.

Esempi

Funzione di una variabile reale

Si consideri

$y=x\mathrm{e}^{-x^2}$.

Calcoliamo la derivata prima:

$y'=\mathrm{e}^{-x^2}-2x^2\mathrm{e}^{-x^2}=\mathrm{e}^{-x^2}(1-2x^2).$

Calcoliamo la derivata seconda:

$y''=-2x\mathrm{e}^{-x^2}(1-2x^2)+\mathrm{e}^{-x^2}(-4x).$

La derivata prima si annulla nei punti

$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}.$

Nel punto $x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$ la derivata seconda è negativa, quindi è un punto di massimo, mentre nel punto $x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ la derivata seconda è positiva, quindi è un punto di mimino.

Funzione di due variabili reali

Si consideri la funzione di 2 variabili

$z=x^3 + y^3 + 3 x y$.

Calcoliamo le derivate parziali prime:

$\frac{\partial z}{\partial x}= f_x = 3 x ^2 + 3 y$

$\frac{\partial z}{\partial y}= f_y = 3 y ^2 + 3 x$

Quindi il gradiente di $f(x,y)$ è:

$\nabla f(x,y) = (f_x; f_y) = \begin{cases} f_x = 3 x ^2 + 3 y \\ f_y = 3 y ^2 + 3 x\end{cases}$

I punti critici sono dati dalla soluzione del sistema:

$\begin{cases} f_x = 3 x ^2 + 3 y = 0\\ f_y = 3 y ^2 + 3 x = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y = 0\\ y^2 + x = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} y = - x^2\\ x^4 + x = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x(x^3+1) = 0\\ y = - x^2 \end{cases}$

Quindi... $\ \begin{cases} x = 0\\ y = 0 \end{cases} \$ oppure $\ \begin{cases} x = -1\\ y = -1 \end{cases} \$

Calcoliamo le derivate parziali seconde:

$f_{xx} = 6x$

$f_{xy} = 3$

$f_{yy} = 6y$

$f_{yx} = 3$

Quindi la matrice hessiana di z sarà:

$H = \begin{bmatrix} 6x & 3\\ 3 & 6y \end{bmatrix}$

Basandosi sul modello:

$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}$

Calcoliamo la matrice hessiana nei punti critici (anche detti "punti stazionari"):

$H (0,0)= \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$

Questa matrice ha determinante negativo (-9), quindi è un punto di sella.

$H (-1,-1)= \begin{bmatrix} -6 & 3 \\ 3 & -6 \end{bmatrix}$

Questa seconda matrice ha invece determinante positivo (27) e primo termine (-6) negativo quindi è un punto di massimo relativo.

Voci correlate

• Punto critico
• Teorema di Weierstrass
• Teorema di Fermat sui punti stazionari
• Funzione derivabile
• Punto di sella
• Punto di flesso
• Teorema di Rolle
• Teorema dei valori intermedi

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