Successione di funzioni

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In matematica una successione di funzioni è una successione i cui termini sono funzioni.

La definizione di un opportuno limite per una successione di funzioni è un tema importante dell'analisi funzionale. In particolare, per le successioni di funzioni si introduce, accanto alla convergenza puntuale, l'importante concetto di convergenza uniforme. La convergenza uniforme ad una funzione su un dato intervallo può essere definita tramite la norma uniforme.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato un insieme F di funzioni tra due insiemi fissati X e Y, una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri naturali in F, che associa ad ogni numero naturale n una funzione f_n. La successione è usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti:

\{f_n\}_{n\in\mathbb N} \qquad (f_n)_{n\in\mathbb N}

Il secondo simbolismo è più corretto in quanto evidenzia il fatto che la nozione di successione generalizza quella di ennupla ordinata.

È importante osservare che nella definizione, così come nell'enunciazione di molti teoremi e proprietà, non è necessario supporre che il dominio delle funzioni sia un insieme strutturato. Solo dove richiesto esso sarà da intendersi, a seconda dei casi, uno spazio topologico, metrico, etc.

Valori in un punto fissato[modifica | modifica sorgente]

Fissato un elemento x_0 nel dominio  X, la successione:

(f_n(x_0))_{n\in\mathbb N}

dei valori assunti dalle funzioni in x_0 è una successione di elementi del codominio Y. Quando Y è un insieme numerico, come ad esempio l'insieme dei numeri reali, questa è una successione numerica.

Limite della successione[modifica | modifica sorgente]

Data una successione di funzioni, è naturale definire una nozione di limite. Se (f_n) è una successione di funzioni da X in Y, la successione numerica f_n(x_0) dei valori assunti in un punto x_0 può avere o non avere un limite. Se esiste un limite f(x_0) per ogni punto x_0, è possibile definire una funzione limite f. Tale tipo di convergenza, ottenuta "calcolando il limite punto per punto", è detto convergenza puntuale. La convergenza puntuale è scarsamente usata in molti contesti dell'analisi funzionale poiché non soddisfa dei requisiti che sono normalmente ritenuti importanti. Tra questi c'è, ad esempio, la commutatività del limite con altre operazioni che si possano fare sulle funzioni.

Nel caso di funzioni da \R in \R, la convergenza puntuale ha le seguenti proprietà:

  • Il limite di una successione di funzioni continue non è una funzione continua.
  • Il limite di una successione di funzioni derivabili o integrabili non è derivabile/integrabile.
  • Il limite degli integrali di una successione di funzioni non è uguale all'integrale del limite, ovvero non si possono scambiare fra loro il segno di limite con quello di integrale.
  • Il limite delle derivate di una successione di funzioni non è uguale alla derivata del limite, ovvero non si possono scambiare fra loro il segno di derivata con quello di limite.

Per ottenere nozioni di convergenza che soddisfino le precedenti proprietà si definisce un opportuno spazio F di funzioni da X in Y, ad esempio lo spazio delle funzioni continue, lo spazio delle funzioni misurabili o lo spazio C^\infty delle funzioni lisce. Fornendo F di una nozione di distanza, così che risulti essere uno spazio metrico, si può introdurre una nozione di convergenza di una successione di elementi di F più forte di quella puntuale, detta "convergenza uniforme".

Convergenza puntuale[modifica | modifica sorgente]

Sia (f_n) una successione di funzioni da X in Y e sia f un'altra funzione da X in Y. Lo spazio Y può essere ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi. La successione di funzioni ( f_n ) converge puntualmente a f se:

\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)

per ogni x nel dominio X. In simboli, si scrive:

f_n \rightarrow f

Se il codominio Y è l'insieme dei numeri reali, è possibile anche usare una simbologia che indica una convergenza monotona. Se:

f_n(x) \leq f_{n+1}(x)

per ogni x e n, allora vale anche:

f_n(x) \leq f(x)

per ogni x e n, e si scrive f_n \uparrow f oppure f_n \nearrow f. Analogamente, se vale l'altro verso della disuguaglianza si scrive f_n \downarrow f oppure f_n \searrow f.

Convergenza uniforme[modifica | modifica sorgente]

Si può visualizzare la convergenza uniforme attraverso il fatto che le funzioni della successione non si allontanano dalla funzione limite f per una distanza maggiore di \varepsilon.

Sia (f_n)_{n \in \N} una successione di funzioni dall'insieme X in \R e sia f : X \to \R una funzione. La successione (f_n) converge uniformemente alla funzione f se per ogni \epsilon > 0 esiste N \in \N tale che:

|f_n(x)-f(x)| < \epsilon \qquad \forall x \in X

per tutti gli n > N .

Detto:

a_n = \sup_{x\in X} |f_n(x)-f(x)|

la successione (f_n) converge uniformemente a f se e solo se:

\lim_{n\to\infty}a_n=0

La successione (f_n)_{n \in \N} converge localmente uniformemente a f se per ogni x in uno spazio metrico S esiste r \ge 0 tale che f_n converge uniformemente su B(x,r)\cap S.

Da notare che se nella definizione di convergenza uniforme si scambiano "esiste N" e "per ogni x" si ottiene la definizione di convergenza puntuale: per ogni x \in X e per ogni \epsilon > 0 esiste un N tale che |f_n(x)-f(x)| < \epsilon per tutti gli n > N. Si vede che la convergenza uniforme implica quella puntuale.

La convergenza uniforme si differenzia da quella puntuale per il fatto che, fissato un valore \varepsilon > 0 (volendo anche piccolo a piacere), si può trovare in corrispondenza di esso un indice n_0 che non dipende da x, ovvero non dipende dal punto considerato. In modo informale si può affermare che, una volta fissato \varepsilon, ogni funzione f_n con n \ge \, n_0(\varepsilon) approssima su tutto X la funzione f con un errore minore di \varepsilon.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La convergenza uniforme è in molti contesti preferibile alla convergenza puntuale in quanto soddisfa un certo numero di proprietà. Sia f_n convergente uniformemente a f:

  • Se  \forall n\, f_n è limitata allora f è limitata.
  • Se  \forall n\, f_n è continua allora f è continua.
  • Se  \forall n\, f_n è uniformemente continua allora f è uniformemente continua.
  • Se  \forall n\, f_n è continua e uniformemente convergente su X=[a,b], allora:
 \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=\int_a^b \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx
Questa relazione consente il passaggio al limite sotto il segno di integrale. L'ipotesi di continuità può essere inoltre sostituita con l'ipotesi che f_n sia integrabile secondo Lebesgue.
  • Il lemma di Dini stabilisce che se f_n \searrow f o f_n \nearrow f in X (puntualmente) con f_n e f continue e  X compatto, allora f_n convergente uniformemente a f.
  • Se si verifica:
    • Le funzioni f_n sono derivabili in [a,b]
    • f_n(x_0) converge a  f(x_0) per qualche x_0
    • f'_n \ converge a  g \ uniformemente
Allora f_n \rightarrow f uniformemente, f è derivabile e f'(x) \equiv g(x).

Metrica uniforme[modifica | modifica sorgente]

Se X è compatto, lo spazio C(X) delle funzioni continue su X può essere dotato di una distanza:

 d(f,g) = \sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|

in modo da diventare uno spazio metrico. In esso è definito un concetto di limite di una successione che coincide con quello di convergenza uniforme. Le ipotesi che X sia compatto e che le funzioni siano continue sono introdotte per ottenere effettivamente una distanza finita fra ogni coppia di funzioni, grazie al teorema di Weierstrass. Tale distanza è a sua volta indotta dalla norma uniforme.

Criterio di convergenza di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia (f_n) una successione di funzioni definita in (a,b). Essa è convergente puntualmente e uniformemente se e solo se per ogni \varepsilon > 0 esiste un indice \nu \in \mathbb{N} tale che, per ogni x in (a,b):

|f_n (x) - f_m(x) | < \varepsilon \qquad \forall n,m > \nu

Nello spazio delle funzioni limitate in (a,b) vale infatti il criterio di convergenza di Cauchy, essendo esso uno spazio completo.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Gli esempi seguenti sono successioni di funzioni da \R in \R.

In alcuni casi una successione di funzioni può essere interamente descritta da una espressione del tipo:

f_n(x)=\sin(nx)

dove i primi termini sono:

f_1(x) = \sin(x) \quad f_2(x) = \sin(2x) \quad f_3(x) = \sin(3x) \quad \dots

Analogamente, una espressione del tipo:

f_n=n^x

descrive la successione di funzioni:

f_1(x) = 1 \quad f_2(x) = 2^x \quad f_3(x) = 3^x \quad \dots

dove se x_0 \in \R si ottiene una successione di numeri reali.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Hans Niels Jahnke, 6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass in A history of analysis, AMS Bookstore, 2003. ISBN 978-0-8218-2623-2.
  • (EN) Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
  • (EN) G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
  • (EN) Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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