Successione di funzioni

In matematica una successione di funzioni è una successione i cui termini $f_n$ sono funzioni.

La definizione di un opportuno limite per una successione di funzioni è un tema importante dell'analisi funzionale.

Definizione

Dato un insieme $F$ di funzioni tra due insiemi fissati $X$ e $Y$, una successione di funzioni è una applicazione dall'insieme dei numeri naturali in $F$, che associa ad ogni numero naturale $n$ una funzione $f_n$. La successione è usualmente indicata con uno dei due simboli seguenti:

$\{f_n\}_{n\in\mathbb N}, \quad (f_n)_{n\in\mathbb N}.$

Il secondo simbolismo è più corretto in quanto evidenzia il fatto che la nozione di successione generalizza quella di ennupla ordinata.

È importante osservare che nella definizione, così come nell'enunciazione di molti teoremi e proprietà, non è necessario supporre che il dominio delle funzioni sia un insieme strutturato. Solo dove richiesto esso sarà da intendersi, a seconda dei casi, uno spazio topologico, metrico, etc.

Valori in un punto fissato

Fissato un elemento $x_0$ nel dominio $X$, la successione

$(f_n(x_0))_{n\in\mathbb N}$

dei valori assunti dalle funzioni in $x_0$ è una successione di elementi del codominio $Y$. Quando $Y$ è un insieme numerico, come ad esempio l'insieme dei numeri reali, questa è una successione numerica.

Limite di una successione di funzioni

Data una successione, è naturale definire una nozione di limite di una successione. Questo può essere fatto, nel contesto delle successioni di funzioni, in vari modi differenti.

Sia $(f_n)$ una successione di funzioni da $X$ in $Y$. La successione numerica $f_n(x_0)$ dei valori assunti in un punto $x_0$ può avere o non avere un limite. Se esiste un limite $f(x_0)$ per ogni punto $x_0$, è possibile definire una funzione limite $f$. Tale tipo di convergenza, ottenuta "calcolando il limite punto per punto", è detto convergenza puntuale.

La convergenza puntuale è scarsamente usata in molti contesti dell'analisi funzionale poiché non soddisfa dei requisiti che sono normalmente ritenuti importanti. Tra questi, c'è ad esempio la commutatività del limite con altre operazioni che si possano fare sulle funzioni. Ad esempio, nel caso ad esempio di funzioni da $\R$ in $\R$, la convergenza puntuale non soddisfa nessuna delle seguenti richieste:

• Il limite di una successione di funzioni continue è una funzione continua.
• Il limite di una successione di funzioni derivabili o integrabili è derivabile/integrabile.
• Il limite degli integrali di una successione di funzioni è uguale all'integrale del limite, ovvero si possono scambiare fra loro il segno di limite con quello di integrale.
• Il limite delle derivate di una successione di funzioni è uguale alla derivata del limite, ovvero si possono scambiare fra loro il segno di derivata con quello di limite.

Per ottenere nozioni di convergenza che soddisfino le precedenti proprietà si definisce un opportuno spazio $F$ di funzioni da $X$ in $Y$, ad esempio lo spazio delle funzioni continue, oppure misurabili o derivabili $C^\infty$. Si definisce quindi su tale spazio $F$ una nozione di distanza: in questo modo $F$ risulta essere uno spazio metrico, da cui segue la nozione di limite di una successione di elementi di $F$.

Convergenza puntuale

Sia $(f_n)$ una successione di funzioni da $X$ in $Y$ e sia $f$ un'altra funzione da $X$ in $Y$. Sia $Y$ uno spazio metrico, ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi. La successione di funzioni $( f_n )$ converge puntualmente a $f$ se:

$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$

per ogni $x$ nel dominio $X$. In simboli, si scrive:

$f_n \rightarrow f.$

Se il codominio $Y$ è l'insieme dei numeri reali, è possibile anche usare una simbologia che indica una convergenza monotona. Se:

$f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$

per ogni $x$ e $n$, allora vale anche:

$f_n(x) \leq f(x)$

per ogni $x$ e $n$, e si scrive:

$f_n \uparrow f\ {\rm oppure}\ f_n \nearrow f$

Analogamente, se vale l'altro verso della disuguaglianza si scrive:

$f_n \downarrow f\ {\rm oppure}\ f_n \searrow f$

Convergenza uniforme

Si può visualizzare la convergenza uniforme attraverso il fatto che le funzioni della successione non si allontanano dalla funzione limite $f$ per una distanza maggiore di $\varepsilon$.

Sia $(f_n)$ una successione di funzioni da $X$ in $Y$ e sia $f$ una funzione da $X$ in $Y$. Sia $Y$ uno spazio metrico, ad esempio l'insieme dei numeri reali o complessi.

La successione di funzioni $(f_n)$ converge uniformemente alla funzione $f$ se la successione:

$a_n = \sup_{x\in X} |f_n(x)-f(x)|$

è ben definita (per $n$ sufficientemente grande) e:

$\lim_{n\to\infty}a_n=0$

La convergenza uniforme si differenzia da quella puntuale per il fatto che, fissato un valore $\varepsilon > 0$ (volendo anche piccolo a piacere), si può trovare in corrispondenza di esso un indice $n_0$ che non dipende da $x$, ovvero non dipende dal punto considerato. In modo informale si può affermare che, una volta fissato $\varepsilon$, ogni funzione $f_n$ con $n \ge \, n_0(\varepsilon)$ approssima su tutto $X$ la funzione $f$ con un errore minore di $\varepsilon$.

Proprietà

La convergenza uniforme è in molti contesti preferibile alla convergenza puntuale in quanto soddisfa un certo numero di proprietà. Sia $f_n$ convergente uniformemente a $f$:

• Se $\forall n\, f_n$ è limitata allora $f$ è limitata.
• Se $\forall n\, f_n$ è continua allora $f$ è continua.
• Se $\forall n\, f_n$ è uniformemente continua allora $f$ è uniformemente continua.
• Se $\forall n\, f_n$ è continua e uniformemente convergente su $X=[a,b]$, allora:

$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=\int_a^b \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx$

Questa relazione consente il passaggio al limite sotto il segno di integrale. L'ipotesi di continuità può essere inoltre sostituita con l'ipotesi che $f_n$ sia integrabile secondo Lebesgue.

• Il lemma di Dini stabilisce che se $f_n \searrow f$ o $f_n \nearrow f$ in $X$ (puntualmente) con $f_n$ e $f$ continue e $X$ compatto, allora $f_n$ convergente uniformemente a $f$.
• Se si verifica:
  • Le funzioni $f_n$ sono derivabili in $[a,b]$
  • $f_n(x_0)$ converge a $f(x_0)$ per qualche $x_0$
  • $f'_n \$ converge a $g \$ uniformemente

Allora $f_n \rightarrow f$ uniformemente, $f$ è derivabile e $f'(x) \equiv g(x)$.

Metrica uniforme

Se $X$ è compatto, lo spazio $C(X)$ delle funzioni continue su $X$ può essere dotato di una distanza:

$d(f,g) = \sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|$

Sullo spazio metrico $C(X)$ è quindi definito un concetto di limite di una successione, che coincide con quello di convergenza uniforme. Le ipotesi che $X$ sia compatto e che le funzioni siano continue sono introdotte per ottenere effettivamente una distanza finita fra ogni coppia di funzioni, grazie al teorema di Weierstrass. Tale distanza è a sua volta indotta dalla norma uniforme.

Criterio di convergenza di Cauchy

Per approfondire, vedi criterio di convergenza di Cauchy.

Sia $(f_n)$ una successione di funzioni definita in $(a,b)$. Essa è convergente puntualmente e uniformemente se e solo se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un indice $\nu \in \mathbb{N}$ tale che, per ogni $x$ in $(a,b)$:

$|f_n (x) - f_m(x) | < \varepsilon \qquad \forall n,m > \nu$

Nello spazio delle funzioni limitate in $(a,b)$ vale infatti il criterio di convergenza di Cauchy, essendo esso uno spazio completo.

Esempi

Gli esempi seguenti sono successioni di funzioni reali (cioè funzioni da $\R$ in $\R$). In alcuni casi, una successione di funzioni può essere interamente descritta da una espressione del tipo

$f_n(x)=\sin(nx) \$

I primi termini della successione sono quindi:

$f_1(x) = \sin(x), f_2(x) = \sin(2x), f_3(x) = \sin(3x),\ldots$

Analogamente, una espressione del tipo

$f_n=n^x$

descrive la successione di funzioni

$f_1(x) = 1, f_2(x) = 2^x, f_3(x) = 3^x, \ldots$

Fissato un valore $x_0$, si ottiene una successione di numeri reali. Ad esempio, fissando $x_0=2$ nel secondo esempio si ottiene:

$f_1(2) = 1, f_2(2) = 2^2, f_3(2) = 3^2,\ldots$

Voci correlate

• Successione (matematica)
• Sequenza polinomiale
• Serie di funzioni
• Serie

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