Spazio metrico completo

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In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo.

Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande,[1] che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una successione \{x_n \} è una successione di Cauchy se per ogni \varepsilon > 0 esiste un numero N(\varepsilon) > 0 tale che:

d(x_n, x_m )< \varepsilon

per ogni n,m > N(\varepsilon).[2] In uno spazio metrico, ogni successione convergente è di Cauchy.

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio.[3]

Dato uno spazio metrico X, un completamento di X è una coppia ( Y, \phi ), dove Y è uno spazio metrico completo e \phi una isometria da X in Y tale che \phi ( X ) è denso in Y.

Ogni spazio metrico compatto è completo, ma non vale il viceversa: uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Un sottospazio di uno spazio metrico completo, fornito della metrica indotta, è completo se e solo se è un sottoinsieme chiuso. Inoltre, il prodotto di spazi metrici completi è completo, e quindi segue che un sottoinsieme di  \R^n è completo se e solo se è chiuso.

Una proprietà degli spazi metrici completi è fornita dal teorema di Baire, che afferma che in uno spazio metrico completo l'intersezione di ogni collezione numerabile di suoi sottoinsiemi aperti e densi è densa nello spazio.[4]

Completamento di uno spazio metrico[modifica | modifica sorgente]

Dato uno spazio metrico X, un completamento di X è una coppia ( Y, \phi ), dove Y è uno spazio metrico completo e \phi una isometria da X in Y tale che \phi ( X ) è denso in Y.

Esistenza e unicità[modifica | modifica sorgente]

Dato uno spazio metrico X, è sempre possibile trovare un completamento. Se inoltre ( Y, \phi ) e (Z, \psi ) sono due completamenti di X, allora Y è isometrico a Z.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Definizione di Y

Sia C l'insieme delle successioni di Cauchy in X. La relazione \sim su C definita nel seguente modo:

\ (x_n)\sim(y_n)\ \Leftrightarrow\ \lim_n d(x_n, y_n) = 0

è una relazione di equivalenza (la transitività è conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare). Si indica con Y l'insieme quoziente e con [ x_n ] la classe di equivalenza della successione ( x_n ) \in C.

Definizione di una metrica su Y

Per mostrare che la funzione \delta: Y \times Y \to \R tale che:

 \delta([x_n],[y_n]) = \lim_n d(x_n,y_n)

è ben definita, bisogna dimostrare che il limite di destra converge, e che non dipende dai rappresentanti scelti. Per la convergenza basti notare che ( d ( x_n, y_n ) ) è una successione di Cauchy di numeri reali, come emerge dalla relazione:

 
|d(x_n,y_n) - d(x_m,y_m)| \leq |d(x_n,y_n)-d(y_n,x_m)|+|d(y_n,x_m)-d(x_m,y_m)|\leq
                           d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m)

e quindi è convergente. Per dimostrare che il limite non dipende dai rappresentanti scelti, se ( u_n ) \in [ x_n ] e ( v_n) \in [ y_n ], allora, analogamente alla disuguaglianza precedente:

 
|d(u_n,v_n) - d(x_n,y_n)| \leq d(u_n,x_n)+d(v_n,y_n)

che al limite va a 0, cioè:

\lim d ( u_n, v_n ) = \lim d ( x_n, y_n )

È immediato verificare che \delta ha tutte e tre le proprietà di una metrica.

Immersione di X in Y

Dato x \in X, sia ( x ) la successione che vale costantemente x. Sia i: X \to Y la funzione che manda x nella classe di equivalenza [ x ] di ( x ). È immediato che i sia una isometria:

\delta(i(x),i(y)) = \lim_n d(x,y) = d(x,y)

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Razionali e reali[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio metrico \mathbb{Q} dei numeri razionali con la metrica standard data dal valore assoluto, non è completo. Infatti, scrivendo le troncature di √2:

 x_1=1 \ x_2=1,4\ x_3= 1,41\ x_4=1,414\ x_5=1,4142\ x_6=1,41421 \ldots

si costruisce una successione di Cauchy di numeri razionali che converge a √2, che però razionale non è.

Gli spazi metrici \R dei numeri reali e \C dei numeri complessi con la metrica data dal valore assoluto sono invece completi.

Gli insiemi \R^n con la norma euclidea standard sono spazi completi. Più generalmente, un qualsiasi sottoinsieme chiuso dello spazio euclideo \R^n è completo.

Spazi normati a dimensione infinita[modifica | modifica sorgente]

La completezza è una proprietà importante nell'ambito degli spazi normati a dimensione infinita. Non tutti gli spazi normati sono completi: quelli che lo sono si dicono spazi di Banach.

 ~d(f,g) = \max_x \{|f(x)-g(x)|\}
Questo spazio metrico è completo.[5]
  • È completo lo spazio l2 costituito dalle successioni \{x_n\} che verificano la condizione:[6]
\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{2} < \infty
e dotato della metrica il cui quadrato è definito come:
 d^2 (x^i , x^j) = \sum_{k=1}^{\infty} ( x_{k}^{i} , x_{k}^{j})^2

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A.N. Kolmogorov, op. cit., Pag. 40
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 5
  3. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 6
  4. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 97
  5. ^ A.N. Kolmogorov, op. cit., Pag. 36
  6. ^ A.N. Kolmogorov, op. cit., Pag. 36

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Andrej Nikolaevič Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the Theory of Function and Functional Analysis, Dover publications, inc., 1957, ISBN 0-486-40683-0.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) John L. Kelley, General Topology, Springer, 1975, ISBN 0-387-90125-6.
  • (EN) Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
  • (EN) Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4
  • (EN) Reinhold Meise, Vogt, Dietmar; translated by Ramanujan, M.S., Introduction to functional analysis, Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press, 1997, ISBN = 0-19-851485-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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