Spazio completo

In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio.

Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento.

Definizione

Per approfondire, vedi la voce successione di Cauchy.

Una successione {x_n} è di Cauchy se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un numero N(ε) > 0 tale che:

$d(x_n, x_m )< \varepsilon \$

per ogni n,m > N(ε). In uno spazio metrico, ogni successione convergente è di Cauchy.

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio.

Un sottospazio di uno spazio metrico completo, fornito della metrica indotta, è completo se e solo se è un sottoinsieme chiuso. Inoltre, il prodotto di spazi metrici completi è completo, e quindi segue che un sottoinsieme di $\R^n$ è completo se e solo se è chiuso.

Il teorema di Baire afferma che in uno spazio metrico completo l'intersezione di ogni collezione numerabile di suoi sottoinsiemi aperti e densi è densa nello spazio.

Esempi

Razionali e reali

Lo spazio metrico Q dei numeri razionali con la metrica standard data dal valore assoluto, non è completo. Infatti, scrivendo le troncature di √2

$x_1=1 \ x_2=1,4\ x_3= 1,41\ x_4=1,414\ x_5=1,4142\ x_6=1,41421 \ldots$

si costruisce una successione di Cauchy di numeri razionali che converge a √2, che però razionale non è.

Gli spazi metrici R dei numeri reali e C dei numeri complessi con la metrica data dal valore assoluto sono invece completi.

Gli insiemi Rⁿ con la norma euclidea standard sono spazi completi. Più generalmente, un qualsiasi sottoinsieme chiuso dello spazio euclideo Rⁿ è completo.

Spazi normati a dimensione infinita

La completezza è una proprietà importante nell'ambito degli spazi normati a dimensione infinita. Non tutti gli spazi normati sono completi: quelli che lo sono si dicono spazi di Banach.

• Le funzioni continue definite su un intervallo chiuso [a,b] formano uno spazio metrico C([a,b]) con la metrica

  $~d(f,g) = \max_x \{|f(x)-g(x)|\}$

  Questo spazio metrico è completo.
• È completo lo spazio l² costituito dalle successioni {x_n} che verificano la condizione

  $\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{2} < \infty$

  e dotato della metrica il cui quadrato è definito come

  $d^2 (x^i , x^j) = \sum_{k=1}^{\infty} ( x_{k}^{i} , x_{k}^{j})^2$

Bibliografia

• (EN) Andrej Nikolaevič Kolmogorov; S.V. Fomin, Elements of the Theory of Function and Functional Analysis, Dover publications, inc., 1957. ISBN 0486406830
• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Spazio di Banach
• Spazio l²
• Successione
• Convergenza

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