Spazio completo

In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio.

Uno spazio metrico non completo è sempre contenuto in uno spazio completo più grande, che può essere costruito a partire dal primo tramite un'operazione di completamento. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali è contenuto nell'insieme dei numeri reali, che si può ottenere dai numeri razionali grazie ad un'operazione di completamento.

Definizione

Per approfondire, vedi successione di Cauchy.

Una successione $\{x_n \}$ è di Cauchy se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un numero $N(\varepsilon) > 0$ tale che:

$d(x_n, x_m )< \varepsilon \$

per ogni $n,m > N(\varepsilon)$. In uno spazio metrico, ogni successione convergente è di Cauchy.

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio.

Dato uno spazio metrico $X$, un completamento di $X$ è una coppia $( Y, \phi )$, dove $Y$ è uno spazio metrico completo e $\phi$ una isometria da $X$ in $Y$ tale che $\phi ( X )$ è denso in $Y$.

Ogni spazio metrico compatto è completo, ma non vale il viceversa: uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Un sottospazio di uno spazio metrico completo, fornito della metrica indotta, è completo se e solo se è un sottoinsieme chiuso. Inoltre, il prodotto di spazi metrici completi è completo, e quindi segue che un sottoinsieme di $\R^n$ è completo se e solo se è chiuso.

Una proprietà degli spazi metrici completi è fornita dal teorema di Baire, che afferma che in uno spazio metrico completo l'intersezione di ogni collezione numerabile di suoi sottoinsiemi aperti e densi è densa nello spazio.

Completamento di uno spazio metrico

Dato uno spazio metrico $X$, un completamento di $X$ è una coppia $( Y, \phi )$, dove $Y$ è uno spazio metrico completo e $\phi$ una isometria da $X$ in $Y$ tale che $\phi ( X )$ è denso in $Y$.

Esistenza e unicità

Dato uno spazio metrico $X$, è sempre possibile trovare un completamento. Se inoltre $( Y, \phi )$ e $(Z, \psi )$ sono due completamenti di $X$, allora $Y$ è isometrico a $Z$.

Dimostrazione

Definizione di Y

Sia $C$ l'insieme delle successioni di Cauchy in $X$. La relazione $\sim$ su $C$ definita nel seguente modo:

$\ (x_n)\sim(y_n)\ \Leftrightarrow\ \lim_n d(x_n, y_n) = 0$

è una relazione di equivalenza (la transitività è conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare). Si indica con $Y$ l'insieme quoziente e con $[ x_n ]$ la classe di equivalenza della successione $( x_n ) \in C$.

Definizione di una metrica su Y

Per mostrare che la funzione $\delta: Y \times Y \to \R$ tale che:

$\delta([x_n],[y_n]) = \lim_n d(x_n,y_n)$

è ben definita, bisogna dimostrare che il limite di destra converge, e che non dipende dai rappresentanti scelti. Per la convergenza basti notare che $( d ( x_n, y_n ) )$ è una successione di Cauchy di numeri reali, come emerge dalla relazione:

$\begin{align} |d(x_n,y_n) - d(x_m,y_m)| & \leq |d(x_n,y_n)-d(y_n,x_m)|+|d(y_n,x_m)-d(x_m,y_m)|\leq \\ & \leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) \\ \end{align}$

e quindi è convergente. Per dimostrare che il limite non dipende dai rappresentanti scelti, se $( u_n ) \in [ x_n ]$ e $( v_n) \in [ y_n ]$, allora, analogamente alla disuguaglianza precedente:

$|d(u_n,v_n) - d(x_n,y_n)| \leq d(u_n,x_n)+d(v_n,y_n)$

che al limite va a 0, cioè:

$\lim d ( u_n, v_n ) = \lim d ( x_n, y_n )$

È immediato verificare che $\delta$ ha tutte e tre le proprietà di una metrica.

Immersione di X in Y

Dato $x \in X$, sia $( x )$ la successione che vale costantemente $x$. Sia $i: X \to Y$ la funzione che manda $x$ nella classe di equivalenza $[ x ]$ di $( x )$. È immediato che $i$ sia una isometria:

$\delta(i(x),i(y)) = \lim_n d(x,y) = d(x,y)$

Esempi

Razionali e reali

Lo spazio metrico $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali con la metrica standard data dal valore assoluto, non è completo. Infatti, scrivendo le troncature di √2:

$x_1=1 \ x_2=1,4\ x_3= 1,41\ x_4=1,414\ x_5=1,4142\ x_6=1,41421 \ldots$

si costruisce una successione di Cauchy di numeri razionali che converge a √2, che però razionale non è.

Gli spazi metrici $\R$ dei numeri reali e $\C$ dei numeri complessi con la metrica data dal valore assoluto sono invece completi.

Gli insiemi $\R^n$ con la norma euclidea standard sono spazi completi. Più generalmente, un qualsiasi sottoinsieme chiuso dello spazio euclideo $\R^n$ è completo.

Spazi normati a dimensione infinita

La completezza è una proprietà importante nell'ambito degli spazi normati a dimensione infinita. Non tutti gli spazi normati sono completi: quelli che lo sono si dicono spazi di Banach.

• Le funzioni continue definite su un intervallo chiuso $[a,b]$ formano uno spazio metrico $C([a,b])$ con la metrica

  $~d(f,g) = \max_x \{|f(x)-g(x)|\}$

  Questo spazio metrico è completo.
• È completo lo spazio l² costituito dalle successioni $\{x_n\}$ che verificano la condizione

  $\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{2} < \infty$

  e dotato della metrica il cui quadrato è definito come

  $d^2 (x^i , x^j) = \sum_{k=1}^{\infty} ( x_{k}^{i} , x_{k}^{j})^2$

Bibliografia

• (EN) Andrej Nikolaevič Kolmogorov; S.V. Fomin, Elements of the Theory of Function and Functional Analysis, Dover publications, inc., 1957. ISBN 0486406830
• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Convergenza
• Limite di una successione
• Spazio di Banach
• Successione (matematica)
• Successione di Cauchy

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