Norma uniforme

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\|x\|_\infty = 1

In analisi matematica, la norma uniforme o norma del sup di una funzione f definita in un dominio D a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

\|f\|_\infty=\sup_{x \in D}\left|f(x)\right|

Se f non è una funzione limitata, questa quantità può anche essere infinita (ad esempio per la funzione esponenziale). Altrimenti essa soddisfa le proprietà di una norma: per questo motivo generalmente viene considerata solo per funzioni limitate ed è anche chiamata norma del sup o norma di Chebyshev.

Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso, o più generalmente in un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore x=(x_1,...,x_n) in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

\|x\|_\infty=\max\{ |x_1|, ..., |x_n| \}

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se f \in L^\infty(\Omega) e la misura di \Omega è finita:

\lim_{p\rightarrow\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty

dove:

\|f\|_p=\left(\int_D \left|f\right|^p\,d\mu\right)^{1/p}

dove \|\cdot\|_p è la norma p (e l'integrale diventa una somma se D è un insieme discreto).

La funzione binaria:

d(f,g)=\|f-g\|_\infty

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione \{ f_n : n=1,2,3,\dots \} converge uniformemente alla funzione f se e solo se:

\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n-f\|_\infty=0

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1964, p. 151. ISBN 0-07-054235-X.
  • (EN) Taylor, A. E. and Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. New York: Wiley, 1980

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