Sottosuccessione

In matematica una sottosuccessione (o successione estratta) di una successione è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti.

Per esempio data la successione dei numeri interi $\{...-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ la successione dei numeri pari è una sottosuccessione.

L'importanza delle sottosuccessioni sta nella considerazione che alcuni risultati, anche fondamentali, di limite non si riescono a raggiungere per l'intera successione, ma solo per un'opportuna sottosuccessione estratta da questa (vedi ad esempio il teorema di Ascoli-Arzelà): si dice allora che la successione converge a meno di sottosuccessioni.

Definizione formale

Sia $\phi:\mathbb{N}\to X$ una successione. Sia $n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una successione strettamente crescente ($n_1 < n_2 < \ldots < n_j < \ldots$), allora si definisce sottosuccessione di $\phi$ l'applicazione composta $\phi(n_i)$.

Esempi

• Sia $X=\mathbb{R}, x_n = (-1)^n, n_j = 2j$ allora $x_{n_j} = (-1)^{2j}=1$. Notare che la successione originaria non è convergente (oscilla), mentre la sottosuccessione converge, e in questo caso è anche costante.

• Sia $X=\mathbb{C}, x_n = i^n$
  • $n_j = 4j$ allora $x_{n_j} = i^{4j}=1$
  • $n_j = 4j+1$ allora $x_{n_j} = i$
  • $n_j = 4j+2$ allora $x_{n_j} = -1$
  • $n_j = 4j+3$ allora $x_{n_j} = -i$

• Sia $X=\mathbb{R}, x_n = \cos(n)$   e   $n_j=j\pi$   allora   $x_{n_j} = \cos(\pi j) = (-1)^j$

Proprietà

Di particolare importanza sono i seguenti teoremi:

• Una successione ha limite $l\in\mathbb{R}^*$ se e solo se ogni sua sottosuccessione ha limite $l$.
• Se $(u_{2n})_{n\in \mathbf{N}}$ e $(u_{2n+1})_{n\in \mathbf{N}}$ convergono allo stesso limite $l$, allora $(u_{n})_{n\in \mathbf{N}}$ converge a $l$ (questa teorema e il precedente sono detti teoremi delle restrizioni per le successioni).
• Ogni successione limitata a valori in $\mathbb{R}$ ammette almeno una sottosuccessione convergente (dal teorema di Bolzano-Weierstrass).
• Ogni successione a valori in uno spazio metrico compatto ha una sottosuccessione convergente.
• Se $(u_{2n})_{n\in \mathbf{N}}$, $(u_{2n+1})_{n\in \mathbf{N}}$ e $(u_{3n})_{n\in \mathbf{N}}$ sono di Cauchy, allora $(u_n)_{n\in \mathbf{N}}$ è una successione di Cauchy.
• Se una successione di Cauchy possiede una sottosuccessione convergente, allora converge l'intera successione.

Differenza tra sottostringa e sottosuccessione

In informatica, il termine stringa è generalmente inteso come un sinonimo di successione di caratteri, ma è importante notare che sottostringa e sottosuccessione non sono sinonimi. Una sottostringa è formata da parti consecutive di una stringa, mentre una sottosuccessione non lo è necessariamente. Questo vuol dire che una sottostringa di una stringa è necessariamente una sottosuccessione della stessa, ma una sottosuccessione di una stringa non è necessariamente una sottostringa della stessa.