Teorema di Bolzano-Weierstrass

Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale $\R^n$ ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.

Il teorema

Sia $E\subset\R^n\!$un insieme limitato e infinito. Allora E possiede (almeno) un punto di accumulazione.

Dimostrazione per n = 1

La dimostrazione nel caso n = 1 fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.

Lemma

Ogni successione $\{x_n\}$ a valori in R ammette una sottosuccessione monotona.

Dimostrazione

Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale n tale che, per ogni m> n, risulti $x_n \geq x_m,$ ovvero tale che il termine   $x_n$ sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.

Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi n₁ < n₂ < n₃ < … < n_j < …. Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente $\{x_{n_j}\}$ costituita dagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.

Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da $\{\sup_{m\geq n}x_m: n\in\mathbb{N}\}$.

Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n₁ = N + 1. Perciò n₁ non è un picco, poiché n₁ > N; da ciò segue che esiste un n₂ > n₁ tale che $x_{n_2} \geq x_{n_1}.$ Allo stesso modo, n₂ > N non è un picco, per cui esiste n₃ > n₂ con $x_{n_3} \geq x_{n_2}.$. Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente $x_{n_1}\leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots$.

Dimostrazione vera e propria

Supponiamo adesso di avere una successione limitata in R; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal Teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato $L$ l'estremo superiore, $\forall \epsilon \exists \nu : L-\epsilon<x_{\nu}$. Essendo monotona, $\forall n>\nu x_{\nu}<x_n<L<L+\epsilon$ cioè $|x_n-L|<\epsilon$. Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso n = 1.

Dimostrazione per n qualsiasi

Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso n = 1 : data una successione limitata in Rⁿ, la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le n coordinate si ottiene una n volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in Rⁿ.

Altra formulazione del teorema

Una formulazione quasi equivalente è la seguente.

Sia $E \subseteq K$ un insieme infinito, e sia K un insieme compatto. Allora E ammette almeno un punto di accumulazione in K, ossia $E^{\prime} \cap K \neq \varnothing$.

Dimostrazione

Sia per assurdo $E^{\prime} \cap K = \varnothing$. Allora per ogni q in K esiste una palla centrata in q che, intersecata con E, contiene al più il punto q stesso (altrimenti q sarebbe di accumulazione per E). Se denotiamo con V(q) la palla centrata in q di opportuno raggio r(q), la famiglia $\{V(q)\}_{q \in K}$ è una copertura aperta di K (dato che il ragionamento è valido per ogni q in K); poiché K è compatto (ex hyp.), da tale copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura aperta e finita di K, ossia:

$\exists \{V(q_i)\}_{i=1,\dots,N} \supseteq K \supseteq E$;

ma la cardinalità di questa famiglia è minore o eguale a N, un numero finito, cioè

$\left|\{V(q_i)\}_{i=1,\dots,N}\right| \leq N < + \infty = |{E}|$,

assurdo.

Quindi $E^{\prime} \cap K \neq \varnothing$.

Note

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