Teorema di Bolzano-Weierstrass

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Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale \R^n ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia E\subset\R^nun insieme limitato e infinito. Allora E possiede almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione per n = 1[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione nel caso n = 1 fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.

Lemma[modifica | modifica wikitesto]

Ogni successione  \{x_n\} a valori in R ammette una sottosuccessione monotona.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale n tale che, per ogni m> n, risulti x_n \geq x_m, ovvero tale che il termine   x_n sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.

Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi n1 > n2 > n3 > … > nj > …. Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente  \{x_{n_j}\} costituita dagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.

Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da  \{\sup_{m\geq n}x_m: n\in\mathbb{N}\}.

Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n1 = N + 1. Perciò n1 non è un picco, poiché n1 > N; da ciò segue che esiste un n2 > n1 tale che x_{n_2} \geq x_{n_1}. Allo stesso modo, n2 > N non è un picco, per cui esiste n3 > n2 con x_{n_3} \geq x_{n_2}.. Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente x_{n_1}\leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots.

Dimostrazione vera e propria[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo adesso di avere una successione limitata in R; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal Teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato L l'estremo superiore, \forall \varepsilon \exists \nu : L-\varepsilon<x_{\nu}. Essendo monotona, \forall n>\nu x_{\nu}<x_n<L<L+\varepsilon cioè |x_n-L|<\varepsilon. Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso n = 1.

Dimostrazione per n qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso n = 1 : data una successione limitata in Rn, la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le n coordinate si ottiene una n volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in Rn.

Altra formulazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione quasi equivalente è la seguente.

Sia E \subseteq K un insieme infinito, e sia K un insieme compatto. Allora E ammette almeno un punto di accumulazione in K, ossia E^{\prime} \cap K \neq \varnothing .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia per assurdo E^{\prime} \cap K = \varnothing. Allora per ogni q in K esiste una palla centrata in q che, intersecata con E, contiene al più il punto q stesso (altrimenti q sarebbe di accumulazione per E). Se denotiamo con V(q) la palla aperta centrata in q di opportuno raggio r(q), la famiglia \{V(q)\}_{q \in K} è una copertura aperta di K (dato che il ragionamento è valido per ogni q in K); poiché K è compatto (ex hyp.), da tale copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura aperta e finita di K, ossia una sottocopertura \exists \{V(q_i)\}_{i=1,\dots,N} tale che

\cup_{i=1,\dots,N}V(q_i) \supseteq K

In particolare, \cup_{i=1,\dots,N}V(q_i) contiene E. Tuttavia, ciò è assurdo poiché E contiene infiniti elementi, mentre ognuna di queste palle V(qi) contiene al più un elemento di E e quindi la loro unione ne contiene al più N.

Quindi E^{\prime} \cap K \neq \varnothing.

Note[modifica | modifica wikitesto]


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